Hoja de trabajo para la desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev dice que al menos 1 -1 /K² de datos de una muestra debe estar dentro de K desviaciones estándar de la media, donde K es cualquier número real positivo mayor que uno. Esto significa que no necesitamos saber la forma de la distribución de nuestros datos. Con solo la media y la desviación estándar, podemos determinar la cantidad de datos de un cierto número de desviaciones estándar de la media.

Los siguientes son algunos problemas para practicar usando la desigualdad.

Ejemplo 1

Una clase de alumnos de segundo grado tiene una altura media de cinco pies con una desviación estándar de una pulgada. Al menos qué porcentaje de la clase debe estar entre 4'10 "y 5'2"?

Solución

Las alturas que se dan en el rango anterior están dentro de dos desviaciones estándar de la altura media de cinco pies. La desigualdad de Chebyshev dice que al menos 1 - 1/2² = 3/4 = 75% de la clase está en el rango de altura dado.

Ejemplo # 2

Se encuentra que las computadoras de una compañía en particular duran en promedio tres años sin ningún mal funcionamiento del hardware, con una desviación estándar de dos meses. Al menos qué porcentaje de las computadoras duran entre 31 meses y 41 meses?

Solución

La vida media de tres años corresponde a 36 meses. Los tiempos de 31 meses a 41 meses son 5/2 = 2.5 desviaciones estándar de la media. Por la desigualdad de Chebyshev, al menos 1 - 1 / (2.5) 6² = 84% de las computadoras duran de 31 meses a 41 meses.

Ejemplo # 3

Las bacterias en un cultivo viven durante un tiempo promedio de tres horas con una desviación estándar de 10 minutos. Al menos qué fracción de la bacteria vive entre dos y cuatro horas?

Solución

Dos y cuatro horas están cada una a una hora de la media. Una hora corresponde a seis desviaciones estándar. Entonces al menos 1 - 1/6² = 35/36 = 97% de las bacterias viven entre dos y cuatro horas.

Ejemplo # 4

¿Cuál es el número más pequeño de desviaciones estándar de la media que debemos seguir si queremos asegurarnos de que tenemos al menos el 50% de los datos de una distribución??

Solución

Aquí usamos la desigualdad de Chebyshev y trabajamos al revés. Queremos 50% = 0.50 = 1/2 = 1 - 1 /K². El objetivo es usar el álgebra para resolver K.

Vemos que 1/2 = 1 /K². Multiplica la cruz y observa que 2 =K². Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, y desde K es una serie de desviaciones estándar, ignoramos la solución negativa a la ecuación. Esto muestra que K es igual a la raíz cuadrada de dos. Entonces, al menos el 50% de los datos está dentro de aproximadamente 1.4 desviaciones estándar de la media.

Ejemplo # 5

La ruta de autobús # 25 toma un tiempo promedio de 50 minutos con una desviación estándar de 2 minutos. Un póster promocional para este sistema de autobuses establece que "el 95% del tiempo la ruta de autobús # 25 dura de ____ a _____ minutos". ¿Con qué números llenaría los espacios en blanco??