Probabilidades para tirar dos dados
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Una forma popular de estudiar la probabilidad es tirar dados. Un dado estándar tiene seis lados impresos con pequeños puntos numerados 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si el dado es justo (y asumiremos que todos lo son), entonces cada uno de estos resultados es igualmente probable. Como hay seis resultados posibles, la probabilidad de obtener cualquier lado del dado es 1/6. La probabilidad de sacar un 1 es 1/6, la probabilidad de sacar un 2 es 1/6, y así sucesivamente. Pero, ¿qué sucede si agregamos otro dado? ¿Cuáles son las probabilidades de lanzar dos dados??
Probabilidad de lanzamiento de dados
Para determinar correctamente la probabilidad de una tirada de dados, necesitamos saber dos cosas:
- El tamaño del espacio muestral o el conjunto de resultados totales posibles
- Con qué frecuencia ocurre un evento
En probabilidad, un evento es un cierto subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, cuando solo se lanza un dado, como en el ejemplo anterior, el espacio muestral es igual a todos los valores del dado o del conjunto (1, 2, 3, 4, 5, 6). Como el dado es justo, cada número en el conjunto ocurre solo una vez. En otras palabras, la frecuencia de cada número es 1. Para determinar la probabilidad de tirar cualquiera de los números en el dado, dividimos la frecuencia del evento (1) por el tamaño del espacio muestral (6), lo que resulta en una probabilidad de 1/6.
Lanzar dos dados justos más que duplica la dificultad de calcular probabilidades. Esto se debe a que lanzar un dado es independiente de tirar un segundo. Un rollo no tiene efecto sobre el otro. Cuando tratamos con eventos independientes, usamos la regla de multiplicación. El uso de un diagrama de árbol demuestra que hay 6 x 6 = 36 resultados posibles al lanzar dos dados.
Suponga que el primer dado que tiramos aparece como 1. El otro dado podría ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Ahora suponga que el primer dado es un 2. El otro dado podría ser nuevamente un 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Ya hemos encontrado 12 resultados potenciales y aún no hemos agotado todas las posibilidades del primer dado.
Tabla de probabilidad de lanzar dos dados
Los posibles resultados de lanzar dos dados se representan en la tabla a continuación. Tenga en cuenta que el número total de resultados posibles es igual al espacio muestral del primer dado (6) multiplicado por el espacio muestral del segundo dado (6), que es 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 4 | 5 5 | 6 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (15) | (dieciséis) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (sesenta y cinco) | (6, 6) |
Tres o más dados
El mismo principio se aplica si estamos trabajando en problemas relacionados con tres dados. Multiplicamos y vemos que hay 6 x 6 x 6 = 216 posibles resultados. Como se vuelve engorroso escribir la multiplicación repetida, podemos usar exponentes para simplificar el trabajo. Para dos dados, hay 6 ^ 2 posibles resultados. Para tres dados, hay 6 ^ 3 posibles resultados. En general, si rodamos norte dados, entonces hay un total de 6 ^norte posibles resultados.
Problemas de muestra
Con este conocimiento, podemos resolver todo tipo de problemas de probabilidad:
1. Se lanzan dos dados de seis lados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea siete??
La forma más fácil de resolver este problema es consultar la tabla anterior. Notarás que en cada fila hay una tirada de dados donde la suma de los dos dados es igual a siete. Como hay seis filas, hay seis resultados posibles donde la suma de los dos dados es igual a siete. El número total de resultados posibles sigue siendo 36. Nuevamente, encontramos la probabilidad dividiendo la frecuencia del evento (6) por el tamaño del espacio muestral (36), lo que resulta en una probabilidad de 1/6.
2. Se lanzan dos dados de seis lados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea tres??
En el problema anterior, es posible que haya notado que las celdas donde la suma de los dos dados es igual a siete forman una diagonal. Lo mismo es cierto aquí, excepto que en este caso solo hay dos celdas donde la suma de los dados es tres. Esto se debe a que solo hay dos formas de obtener este resultado. Debe sacar un 1 y un 2 o debe sacar un 2 y un 1. Las combinaciones para obtener una suma de siete son mucho mayores (1 y 6, 2 y 5, 3 y 4, y así sucesivamente). Para encontrar la probabilidad de que la suma de los dos dados sea tres, podemos dividir la frecuencia del evento (2) por el tamaño del espacio muestral (36), lo que resulta en una probabilidad de 1/18.
3. Se lanzan dos dados de seis lados. ¿Cuál es la probabilidad de que los números en los dados sean diferentes??
Nuevamente, podemos resolver fácilmente este problema consultando la tabla anterior. Notarás que las celdas donde los números en los dados son iguales forman una diagonal. Solo hay seis de ellos, y una vez que los tachamos, tenemos las celdas restantes en las que los números en los dados son diferentes. Podemos tomar el número de combinaciones (30) y dividirlo por el tamaño del espacio muestral (36), lo que resulta en una probabilidad de 5/6.
