Probabilidades en el juego Monopolio

Monopoly es un juego de mesa en el que los jugadores pueden poner el capitalismo en acción. Los jugadores compran y venden propiedades y se cobran mutuamente el alquiler. Aunque hay partes sociales y estratégicas del juego, los jugadores mueven sus piezas por el tablero lanzando dos dados estándar de seis lados. Dado que esto controla cómo se mueven los jugadores, también hay un aspecto de probabilidad en el juego. Al conocer solo algunos hechos, podemos calcular la probabilidad de aterrizar en ciertos espacios durante los primeros dos turnos al comienzo del juego.

El dado

En cada turno, un jugador tira dos dados y luego mueve su pieza tantos espacios en el tablero. Por lo tanto, es útil revisar las probabilidades de lanzar dos dados. En resumen, son posibles las siguientes sumas:

• Una suma de dos tiene probabilidad 1/36.
• Una suma de tres tiene una probabilidad de 2/36.
• Una suma de cuatro tiene probabilidad 3/36.
• Una suma de cinco tiene probabilidad 4/36.
• Una suma de seis tiene una probabilidad de 5/36.
• Una suma de siete tiene probabilidad 6/36.
• Una suma de ocho tiene una probabilidad de 5/36.
• Una suma de nueve tiene probabilidad 4/36.
• Una suma de diez tiene probabilidad 3/36.
• Una suma de once tiene una probabilidad de 2/36.
• Una suma de doce tiene probabilidad 1/36.

Estas probabilidades serán muy importantes a medida que continuamos.

El tablero de juego del monopolio

También debemos tomar nota del tablero de juego Monopoly. Hay un total de 40 espacios alrededor del tablero de juego, con 28 de estas propiedades, ferrocarriles o servicios públicos que se pueden comprar. Seis espacios implican robar una carta de las pilas Chance o Community Chest. Tres espacios son espacios libres en los que no pasa nada. Dos espacios que implican el pago de impuestos: impuesto sobre la renta o impuesto de lujo. Un espacio envía al jugador a la cárcel.

Solo consideraremos los dos primeros turnos de un juego de Monopoly. En el transcurso de estos turnos, lo más lejos que podemos llegar al tablero es rodar doce veces y mover un total de 24 espacios. Por lo tanto, solo examinaremos los primeros 24 espacios en el tablero. En orden estos espacios son:

1. Avenida mediterránea
2. Pecho de la comunidad
3. Avenida báltica
4. Impuesto sobre la renta
5. Reading Railroad
6. Avenida Oriental
7. Oportunidad
8. Avenida Vermont
9. Impuesto de Connecticut
10. Solo visitando la cárcel
11. St. James Place
12. Compañía eléctrica
13. Avenida de los Estados
14. Avenida Virginia
15. Ferrocarril de Pensilvania
16. St. James Place
17. Pecho de la comunidad
18. Avenida de Tennessee
19. Avenida de Nueva York
20. Estacionamiento gratis
21. Avenida de Kentucky
22. Oportunidad
23. Avenida de Indiana
24. Avenida de Illinois

Primer turno

El primer turno es relativamente sencillo. Como tenemos probabilidades de lanzar dos dados, simplemente los combinamos con los cuadrados apropiados. Por ejemplo, el segundo espacio es un cuadrado de Community Chest y hay una probabilidad de 1/36 de obtener una suma de dos. Por lo tanto, hay una probabilidad de 1/36 de aterrizar en el Cofre de la Comunidad en el primer turno.

A continuación se muestran las probabilidades de aterrizar en los siguientes espacios en el primer turno:

• Cofre comunitario - 1/36
• Avenida Báltico - 2/36
• Impuesto a las ganancias - 3/36
• Reading Railroad - 4/36
• Avenida Oriental - 5/36
• Oportunidad - 6/36
• Avenida Vermont - 5/36
• Impuesto de Connecticut - 4/36
• Solo visitando la cárcel - 3/36
• St. James Place - 2/36
• Empresa eléctrica - 1/36

Segunda vuelta

Calcular las probabilidades para el segundo turno es algo más difícil. Podemos tirar un total de dos en ambos turnos e ir un mínimo de cuatro espacios, o un total de 12 en ambos turnos e ir un máximo de 24 espacios. También se puede llegar a cualquier espacio entre cuatro y 24. Pero estos se pueden hacer de diferentes maneras. Por ejemplo, podríamos mover un total de siete espacios moviendo cualquiera de las siguientes combinaciones:

• Dos espacios en el primer turno y cinco espacios en el segundo turno.
• Tres espacios en el primer turno y cuatro espacios en el segundo turno.
• Cuatro espacios en el primer turno y tres espacios en el segundo turno.
• Cinco espacios en el primer turno y dos espacios en el segundo turno.

Debemos considerar todas estas posibilidades al calcular las probabilidades. Los lanzamientos de cada turno son independientes del lanzamiento del siguiente turno. Por lo tanto, no debemos preocuparnos por la probabilidad condicional, sino simplemente multiplicar cada una de las probabilidades:

• La probabilidad de sacar un dos y luego un cinco es (1/36) x (4/36) = 4/1296.
• La probabilidad de sacar un tres y luego un cuatro es (2/36) x (3/36) = 6/1296.
• La probabilidad de sacar un cuatro y luego un tres es (3/36) x (2/36) = 6/1296.
• La probabilidad de sacar un cinco y luego un dos es (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Regla de adición mutuamente exclusiva

Otras probabilidades para dos turnos se calculan de la misma manera. Para cada caso, solo necesitamos descubrir todas las formas posibles de obtener una suma total correspondiente a ese cuadrado del tablero de juego. A continuación se muestran las probabilidades (redondeadas a la centésima de porcentaje más cercana) de aterrizar en los siguientes espacios en el primer turno:

• Impuesto a las ganancias - 0.08%
• Reading Railroad - 0.31%
• Avenida Oriental - 0.77%
• Probabilidad - 1,54%
• Avenida Vermont - 2.70%
• Impuesto de Connecticut - 4.32%
• Solo visitando la cárcel - 6.17%
• St. James Place - 8.02%
• Empresa eléctrica - 9.65%
• Avenida de los Estados - 10.80%
• Avenida Virginia - 11.27%
• Ferrocarril de Pensilvania - 10.80%
• St. James Place - 9.65%
• Cofre comunitario - 8.02%
• Tennessee Avenue 6.17%
• Avenida de Nueva York 4.32%
• Aparcamiento gratuito - 2.70%
• Avenida de Kentucky - 1.54%
• Probabilidad - 0,77%
• Avenida Indiana - 0.31%
• Avenida de Illinois - 0.08%

Más de tres vueltas

Para más turnos, la situación se vuelve aún más difícil. Una razón es que en las reglas del juego si tiramos dobles tres veces seguidas vamos a la cárcel. Esta regla afectará nuestras probabilidades de formas que no teníamos que considerar previamente. Además de esta regla, hay efectos de la posibilidad y las cartas de cofres de la comunidad que no estamos considerando. Algunas de estas cartas dirigen a los jugadores a saltar espacios e ir directamente a espacios particulares.

Debido a la mayor complejidad computacional, es más fácil calcular las probabilidades para más de unas pocas vueltas utilizando los métodos de Monte Carlo. Las computadoras pueden simular cientos de miles, si no millones, de juegos de Monopoly, y las probabilidades de aterrizar en cada espacio se pueden calcular empíricamente a partir de estos juegos.