Probabilidades para lanzar tres dados

Los dados proporcionan excelentes ilustraciones para conceptos de probabilidad. Los dados más utilizados son cubos con seis lados. Aquí, veremos cómo calcular las probabilidades de lanzar tres dados estándar. Es un problema relativamente estándar calcular la probabilidad de la suma obtenida tirando dos dados. Hay un total de 36 tiradas diferentes con dos dados, con cualquier suma de 2 a 12 posibles. ¿Cómo cambia el problema si agregamos más dados??

Posibles resultados y sumas

Así como un dado tiene seis resultados y dos dados tienen 6² = 36 resultados, el experimento de probabilidad de lanzar tres dados tiene 6³ = 216 resultados. Esta idea se generaliza más para más dados. Si rodamos norte dados, entonces hay 6^norte resultados.

También podemos considerar las posibles sumas al tirar varios dados. La suma más pequeña posible ocurre cuando todos los dados son los más pequeños, o uno cada uno. Esto da una suma de tres cuando tiramos tres dados. El mayor número en un dado es seis, lo que significa que la mayor suma posible ocurre cuando los tres dados son seis. La suma de esta situación es 18.

Cuando norte se tiran los dados, la suma mínima posible es norte y la mayor suma posible es 6norte.

Hay una forma posible en que tres dados pueden sumar 3
3 formas para 4
6 por 5
10 por 6
15 por 7
21 por 8
25 por 9
27 por 10
27 para 11
25 para 12
21 por 13
15 para 14
10 por 15
6 por 16
3 por 17
1 para 18

Formando Sumas

Como se discutió anteriormente, para tres dados las posibles sumas incluyen cada número del tres al 18. Las probabilidades se pueden calcular utilizando estrategias de conteo y reconociendo que estamos buscando formas de dividir un número en exactamente tres números enteros. Por ejemplo, la única forma de obtener una suma de tres es 3 = 1 + 1 + 1. Dado que cada dado es independiente de los demás, se puede obtener una suma como cuatro de tres maneras diferentes:

1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1

Se pueden usar más argumentos de conteo para encontrar la cantidad de formas de formar las otras sumas. Las particiones para cada suma son las siguientes:

3 = 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
17 = 6 + 6 + 5
18 = 6 + 6 + 6

Cuando tres números diferentes forman la partición, como 7 = 1 + 2 + 4, ¡hay 3! (3x2x1) diferentes formas de permutar estos números. Entonces esto contaría para tres resultados en el espacio muestral. Cuando dos números diferentes forman la partición, entonces hay tres formas diferentes de permutar estos números.

Probabilidades especificas

Dividimos el número total de formas de obtener cada suma por el número total de resultados en el espacio muestral, o 216. Los resultados son:

Probabilidad de una suma de 3: 1/216 = 0.5%
Probabilidad de una suma de 4: 3/216 = 1.4%
Probabilidad de una suma de 5: 6/216 = 2.8%
Probabilidad de una suma de 6: 10/216 = 4.6%
Probabilidad de una suma de 7: 15/216 = 7.0%
Probabilidad de una suma de 8: 21/216 = 9.7%
Probabilidad de una suma de 9: 25/216 = 11.6%
Probabilidad de una suma de 10: 27/216 = 12.5%
Probabilidad de una suma de 11: 27/216 = 12.5%
Probabilidad de una suma de 12: 25/216 = 11.6%
Probabilidad de una suma de 13: 21/216 = 9.7%
Probabilidad de una suma de 14: 15/216 = 7.0%
Probabilidad de una suma de 15: 10/216 = 4.6%
Probabilidad de una suma de 16: 6/216 = 2.8%
Probabilidad de una suma de 17: 3/216 = 1.4%
Probabilidad de una suma de 18: 1/216 = 0.5%

Como se puede ver, los valores extremos de 3 y 18 son menos probables. Las sumas que están exactamente en el medio son las más probables. Esto corresponde a lo observado cuando se tiraron dos dados.

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