Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones de población

En este artículo, veremos los pasos necesarios para realizar una prueba de hipótesis, o prueba de significación, para la diferencia de dos proporciones de población. Esto nos permite comparar dos proporciones desconocidas e inferir si no son iguales entre sí o si una es mayor que otra.

Resumen y antecedentes de la prueba de hipótesis

Antes de entrar en los detalles de nuestra prueba de hipótesis, veremos el marco de las pruebas de hipótesis. En una prueba de significación, intentamos demostrar que una afirmación sobre el valor de un parámetro de población (o, a veces, la naturaleza de la población en sí) es probable que sea cierta. 

Acumulamos evidencia para esta afirmación realizando una muestra estadística. Calculamos una estadística de esta muestra. El valor de esta estadística es lo que usamos para determinar la verdad de la declaración original. Este proceso contiene incertidumbre, sin embargo, podemos cuantificar esta incertidumbre

El proceso general para una prueba de hipótesis viene dado por la siguiente lista:

1. Asegúrese de que se cumplan las condiciones necesarias para nuestra prueba.
2. Indique claramente las hipótesis nulas y alternativas. La hipótesis alternativa puede implicar una prueba unilateral o bilateral. También debemos determinar el nivel de significación, que se denotará con la letra griega alfa.
3. Calcule la estadística de prueba. El tipo de estadística que utilizamos depende de la prueba particular que estamos realizando. El cálculo se basa en nuestra muestra estadística.. 
4. Calcule el valor p. El estadístico de prueba se puede traducir a un valor p. Un valor p es la probabilidad de que el azar produzca el valor de nuestro estadístico de prueba bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera. La regla general es que cuanto menor es el valor p, mayor es la evidencia contra la hipótesis nula.
5. Obtener una conclusión. Finalmente, usamos el valor de alfa que ya estaba seleccionado como valor umbral. La regla de decisión es que si el valor p es menor o igual que alfa, entonces rechazamos la hipótesis nula. De lo contrario, no podemos rechazar la hipótesis nula.

Ahora que hemos visto el marco para una prueba de hipótesis, veremos los detalles para una prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones de población. 

Las condiciones

Una prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones de población requiere que se cumplan las siguientes condiciones: 

• Tenemos dos muestras aleatorias simples de grandes poblaciones. Aquí "grande" significa que la población es al menos 20 veces mayor que el tamaño de la muestra. Los tamaños de muestra se denotarán por norte₁ y norte₂.
• Los individuos en nuestras muestras han sido elegidos independientemente uno del otro. Las poblaciones mismas también deben ser independientes..
• Hay al menos 10 éxitos y 10 fracasos en nuestras dos muestras.

Mientras se cumplan estas condiciones, podemos continuar con nuestra prueba de hipótesis.

Las hipótesis nulas y alternativas

Ahora debemos considerar las hipótesis para nuestra prueba de significación. La hipótesis nula es nuestra afirmación sin efecto. En este tipo particular de hipótesis, nuestra hipótesis nula es que no hay diferencia entre las dos proporciones de población. Podemos escribir esto como H_{0 0}: pag₁ = pag₂.

La hipótesis alternativa es una de tres posibilidades, dependiendo de los detalles de lo que estamos probando: 

• H_un: pag₁ es mayor que pag₂. Esta es una prueba de una cola o unilateral.
• H_un: pag₁ es menos que pag₂. Esta es también una prueba unilateral.
• H_un: pag₁ no es igual a pag₂. Esta es una prueba de dos colas o de dos lados..

Como siempre, para ser cautelosos, debemos usar la hipótesis alternativa de dos lados si no tenemos una dirección en mente antes de obtener nuestra muestra. La razón para hacer esto es que es más difícil rechazar la hipótesis nula con una prueba de dos lados..

Las tres hipótesis se pueden reescribir indicando cómo pag₁ - pag₂ está relacionado con el valor cero. Para ser más específicos, la hipótesis nula se convertiría en H_{0 0}:pag₁ - pag₂ = 0. Las posibles hipótesis alternativas se escribirían como:

• H_un: pag₁ - pag₂ > 0 es equivalente a la declaración "pag₁ es mayor que pag₂."
• H_un: pag₁ - pag₂ < 0 is equivalent to the statement "pag₁ es menos que pag₂."
• H_un: pag₁ - pag₂  ≠ 0 es equivalente a la declaración "pag₁ no es igual a pag₂."