Ejemplo de prueba de hipótesis

Una parte importante de la estadística inferencial es la prueba de hipótesis. Al igual que con el aprendizaje de cualquier cosa relacionada con las matemáticas, es útil trabajar con varios ejemplos. A continuación se examina un ejemplo de prueba de hipótesis y se calcula la probabilidad de errores de tipo I y tipo II..

Asumiremos que las condiciones simples se mantienen. Más específicamente, asumiremos que tenemos una muestra aleatoria simple de una población que está normalmente distribuida o que tiene un tamaño de muestra lo suficientemente grande como para que podamos aplicar el teorema del límite central. También asumiremos que conocemos la desviación estándar de la población..

Planteamiento del problema

Una bolsa de papas fritas está empacada en peso. Se compra un total de nueve bolsas, se pesa y el peso promedio de estas nueve bolsas es de 10.5 onzas. Suponga que la desviación estándar de la población de todas estas bolsas de papas fritas es de 0.6 onzas. El peso indicado en todos los paquetes es de 11 onzas. Establecer un nivel de significación en 0.01.

Pregunta 1

¿La muestra respalda la hipótesis de que la media real de la población es inferior a 11 onzas??

Tenemos una prueba de cola inferior. Esto se ve en la declaración de nuestras hipótesis nulas y alternativas:

• H_{0 0} : μ = 11.
• H_un : μ < 11.

El estadístico de prueba se calcula mediante la fórmula

z = (X-bar - μ_{0 0}) / (σ / √norte) = (10.5 - 11) / (0.6 / √ 9) = -0.5 / 0.2 = -2.5.

Ahora necesitamos determinar qué tan probable es este valor de z se debe solo al azar. Mediante el uso de una tabla de z-puntajes vemos que la probabilidad de que z es menor o igual que -2.5 es 0.0062. Dado que este valor p es menor que el nivel de significancia, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. El peso medio de todas las bolsas de papas fritas es inferior a 11 onzas..

Pregunta 2

¿Cuál es la probabilidad de un error tipo I??

Un error tipo I ocurre cuando rechazamos una hipótesis nula que es verdadera. La probabilidad de tal error es igual al nivel de significancia. En este caso, tenemos un nivel de significancia igual a 0.01, por lo tanto, esta es la probabilidad de un error tipo I.

Pregunta 3

Si la media de la población es de 10.75 onzas, ¿cuál es la probabilidad de un error de Tipo II??

Comenzamos reformulando nuestra regla de decisión en términos de la media muestral. Para un nivel de significancia de 0.01, rechazamos la hipótesis nula cuando z < -2.33. By plugging this value into the formula for the test statistics, we reject the null hypothesis when

(X-barra - 11) / (0.6 / √ 9) < -2.33.

De manera equivalente, rechazamos la hipótesis nula cuando 11 - 2.33 (0.2)> X-bar, o cuando X-la barra es inferior a 10.534. No podemos rechazar la hipótesis nula para X-barra mayor o igual a 10.534. Si la media real de la población es 10.75, entonces la probabilidad de que X-la barra es mayor o igual a 10.534 es equivalente a la probabilidad de que z es mayor o igual que -0.22. Esta probabilidad, que es la probabilidad de un error tipo II, es igual a 0.587.