Cómo probar la regla del complemento en probabilidad

Se pueden deducir varios teoremas de probabilidad a partir de los axiomas de probabilidad. Estos teoremas se pueden aplicar para calcular las probabilidades que deseamos saber. Uno de esos resultados se conoce como la regla del complemento. Esta declaración nos permite calcular la probabilidad de un evento. UN al conocer la probabilidad del complemento UN^C. Después de establecer la regla del complemento, veremos cómo se puede probar este resultado.

La regla del complemento

El complemento del evento. UN se denota por UN^C. El complemento de UN es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal, o espacio de muestra S, que no son elementos del conjunto UN.

La regla del complemento se expresa mediante la siguiente ecuación:

PAG(UN^C) = 1 - P (UN)

Aquí vemos que la probabilidad de un evento y la probabilidad de su complemento debe sumar 1.

Prueba de la regla del complemento

Para probar la regla del complemento, comenzamos con los axiomas de probabilidad. Estas declaraciones se suponen sin prueba. Veremos que pueden usarse sistemáticamente para probar nuestra afirmación sobre la probabilidad del complemento de un evento..

• El primer axioma de probabilidad es que la probabilidad de cualquier evento es un número real no negativo.
• El segundo axioma de probabilidad es que la probabilidad de todo el espacio muestral S es uno. Simbólicamente escribimos P (S) = 1.
• El tercer axioma de probabilidad establece que si UN y si son mutuamente excluyentes (lo que significa que tienen una intersección vacía), luego establecemos la probabilidad de la unión de estos eventos como P (UN U si ) = P (UN) + P (si).

Para la regla del complemento, no necesitaremos usar el primer axioma en la lista anterior.

Para probar nuestra afirmación, consideramos los eventos. UNy UN^C. Por la teoría de conjuntos, sabemos que estos dos conjuntos tienen una intersección vacía. Esto se debe a que un elemento no puede estar simultáneamente en ambos UN y no en UN. Como hay una intersección vacía, estos dos conjuntos son mutuamente excluyentes.

La unión de los dos eventos. UN y UN^C También son importantes. Estos constituyen eventos exhaustivos, lo que significa que la unión de estos eventos es todo el espacio muestral S.

Estos hechos, combinados con los axiomas nos dan la ecuación

1 = P (S) = P (UN U UN^C) = P (UN) + P (UN^C) .

La primera igualdad se debe al segundo axioma de probabilidad. La segunda igualdad es porque los eventos UN y UN^C Son exhaustivos. La tercera igualdad se debe al tercer axioma de probabilidad..

La ecuación anterior se puede reorganizar en la forma que mencionamos anteriormente. Todo lo que debemos hacer es restar la probabilidad de UN de ambos lados de la ecuación. Así

1 = P (UN) + P (UN^C)

se convierte en la ecuación

PAG(UN^C) = 1 - P (UN).

Por supuesto, también podríamos expresar la regla al afirmar que:

PAG(UN) = 1 - P (UN^C).

Las tres ecuaciones son formas equivalentes de decir lo mismo. A partir de esta prueba, vemos cómo solo dos axiomas y alguna teoría de conjuntos ayudan mucho a probar nuevas afirmaciones sobre la probabilidad.