Cómo probar las leyes de De Morgan

En estadística matemática y probabilidad es importante estar familiarizado con la teoría de conjuntos. Las operaciones elementales de la teoría de conjuntos tienen conexiones con ciertas reglas en el cálculo de probabilidades. Las interacciones de estas operaciones de conjunto elemental de unión, intersección y el complemento se explican por dos declaraciones conocidas como Leyes de De Morgan. Después de establecer estas leyes, veremos cómo probarlas..

Declaración de las leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan se relacionan con la interacción de la unión, la intersección y el complemento. Recordar que:

• La intersección de los conjuntos. UN y si consiste en todos los elementos que son comunes a ambos UN y si. La intersección se denota por UN ∩ si.
• La unión de los conjuntos. UN y si consiste en todos los elementos que en cualquiera UN o si, incluyendo los elementos en ambos conjuntos. La intersección se denota por A U B.
• El complemento del conjunto UN consiste en todos los elementos que no son elementos de UN. Este complemento se denota por A^C.

Ahora que hemos recordado estas operaciones elementales, veremos la declaración de las Leyes de De Morgan. Por cada par de juegos UN y si

1. (UN ∩ si)^C = UN^C U si^C.
2. (UN U si)^C = UN^C ∩ si^C.

Esquema de la estrategia de prueba

Antes de saltar a la prueba, pensaremos en cómo probar las declaraciones anteriores. Estamos tratando de demostrar que dos conjuntos son iguales entre sí. La forma en que esto se hace en una prueba matemática es mediante el procedimiento de doble inclusión. El resumen de este método de prueba es:

1. Demuestre que el conjunto del lado izquierdo de nuestro signo igual es un subconjunto del conjunto de la derecha.
2. Repita el proceso en la dirección opuesta, mostrando que el conjunto de la derecha es un subconjunto del conjunto de la izquierda.
3. Estos dos pasos nos permiten decir que los conjuntos son, de hecho, iguales entre sí. Consisten en todos los mismos elementos..

Prueba de una de las leyes

Veremos cómo probar la primera de las Leyes de De Morgan arriba. Comenzamos mostrando que (UN ∩ si)^C es un subconjunto de UN^C U si^C.

1. Primero supongamos que X es un elemento de (UN ∩ si)^C.
2. Esto significa que X no es un elemento de (UN ∩ si).
3. Dado que la intersección es el conjunto de todos los elementos comunes a ambos UN y si, el paso anterior significa que X no puede ser un elemento de ambos UN y si.
4. Esto significa que X debe ser un elemento de al menos uno de los conjuntos UN^C o si^C.
5. Por definición, esto significa que X es un elemento de UN^C U si^C
6. Hemos mostrado la inclusión deseada del subconjunto.

Nuestra prueba ahora está a medio camino. Para completarlo mostramos la inclusión del subconjunto opuesto. Más específicamente debemos mostrar UN^C U si^C es un subconjunto de (UN ∩ si)^C.

1. Comenzamos con un elemento X en el set UN^C U si^C.
2. Esto significa que X es un elemento de UN^C o eso X es un elemento de si^C.
3. Así X no es un elemento de al menos uno de los conjuntos UN o si.
4. Entonces X no puede ser un elemento de ambos UN y si. Esto significa que X es un elemento de (UN ∩ si)^C.
5. Hemos mostrado la inclusión deseada del subconjunto.

Prueba de la otra ley

La prueba de la otra declaración es muy similar a la prueba que hemos descrito anteriormente. Todo lo que debe hacerse es mostrar una inclusión de subconjuntos de conjuntos a ambos lados del signo igual.