¿Cuál es la distribución normal estándar?

Las curvas de campana aparecen en todas las estadísticas. Diversas mediciones como diámetros de semillas, longitudes de aletas de peces, puntajes en el SAT y pesos de hojas individuales de una resma de papel forman curvas de campana cuando se grafican. La forma general de todas estas curvas es la misma. Pero todas estas curvas son diferentes porque es muy poco probable que alguna de ellas comparta la misma media o desviación estándar. Las curvas de campana con grandes desviaciones estándar son anchas, y las curvas de campana con pequeñas desviaciones estándar son delgadas. Las curvas de campana con medios más grandes se desplazan más hacia la derecha que aquellas con medios más pequeños.

Un ejemplo

Para hacer esto un poco más concreto, imaginemos que medimos los diámetros de 500 granos de maíz. Luego registramos, analizamos y graficamos esos datos. Se encuentra que el conjunto de datos tiene la forma de una curva de campana y tiene una media de 1.2 cm con una desviación estándar de .4 cm. Ahora supongamos que hacemos lo mismo con 500 frijoles, y encontramos que tienen un diámetro medio de .8 cm con una desviación estándar de .04 cm.

Las curvas de campana de estos dos conjuntos de datos se trazan arriba. La curva roja corresponde a los datos del maíz y la curva verde corresponde a los datos del frijol. Como podemos ver, los centros y los spreads de estas dos curvas son diferentes..

Estas son claramente dos curvas de campana diferentes. Son diferentes porque sus medios y desviaciones estándar no coinciden. Dado que cualquier conjunto de datos interesante que encontremos puede tener cualquier número positivo como desviación estándar, y cualquier número para una media, en realidad solo estamos rascando la superficie de un infinito Número de curvas de campana. Son muchas curvas y demasiadas para tratar. Cual es la solución?

Una curva de campana muy especial

Un objetivo de las matemáticas es generalizar las cosas siempre que sea posible. A veces, varios problemas individuales son casos especiales de un solo problema. Esta situación que involucra curvas de campana es una gran ilustración de eso. En lugar de tratar con un número infinito de curvas de campana, podemos relacionarlas todas con una sola curva. Esta curva de campana especial se llama curva de campana estándar o distribución normal estándar.

La curva de campana estándar tiene una media de cero y una desviación estándar de uno. Cualquier otra curva de campana se puede comparar con este estándar mediante un cálculo directo.

Características de la distribución normal estándar

Todas las propiedades de cualquier curva de campana se mantienen para la distribución normal estándar.

• La distribución normal estándar no solo tiene una media de cero sino también una mediana y una moda de cero. Este es el centro de la curva..
• La distribución normal estándar muestra simetría de espejo en cero. La mitad de la curva está a la izquierda de cero y la otra mitad está a la derecha. Si la curva se doblara a lo largo de una línea vertical en cero, ambas mitades coincidirían perfectamente.
• La distribución normal estándar sigue la regla 68-95-99.7, que nos brinda una manera fácil de estimar lo siguiente:
  • Aproximadamente el 68% de todos los datos están entre -1 y 1.
  • Aproximadamente el 95% de todos los datos están entre -2 y 2.
  • Aproximadamente el 99.7% de todos los datos están entre -3 y 3.

Por qué nos importa

En este punto, podemos preguntarnos: "¿Por qué molestarse con una curva de campana estándar?" Puede parecer una complicación innecesaria, pero la curva de campana estándar será beneficiosa a medida que continuamos en las estadísticas.

Encontraremos que un tipo de problema en las estadísticas requiere que encontremos áreas debajo de las porciones de cualquier curva de campana que encontremos. La curva de campana no es una buena forma para las áreas. No es como un rectángulo o un triángulo rectángulo que tienen fórmulas de área fáciles. Encontrar áreas de partes de una curva de campana puede ser complicado, tan difícil, de hecho, que necesitaríamos usar algo de cálculo. Si no estandarizamos nuestras curvas de campana, tendríamos que hacer un cálculo cada vez que queramos encontrar un área. Si estandarizamos nuestras curvas, todo el trabajo de calcular áreas se ha hecho por nosotros.