¿Qué es la paradoja de San Petersburgo?

Estás en las calles de San Petersburgo, Rusia, y un anciano propone el siguiente juego. Lanza una moneda (y tomará prestada una de las suyas si no confía en que la suya sea justa). Si cae cruz, pierdes y el juego termina. Si la moneda cae cara arriba, ganas un rublo y el juego continúa. La moneda se tira de nuevo. Si es cruz, entonces el juego termina. Si es cara, entonces ganas dos rublos adicionales. El juego continúa de esta manera. Para cada cabeza sucesiva duplicamos nuestras ganancias de la ronda anterior, pero a la señal de la primera cola, el juego está terminado..

¿Cuánto pagarías por jugar a este juego? Cuando consideramos el valor esperado de este juego, debes aprovechar la oportunidad, sin importar el costo de jugar. Sin embargo, según la descripción anterior, probablemente no estaría dispuesto a pagar mucho. Después de todo, hay un 50% de probabilidad de no ganar nada. Esto es lo que se conoce como la paradoja de San Petersburgo, llamada así por la publicación de 1738 de Daniel Bernoulli Comentarios de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo.

Algunas probabilidades

Comencemos calculando las probabilidades asociadas con este juego. La probabilidad de que una moneda justa caiga cara arriba es 1/2. Cada lanzamiento de moneda es un evento independiente y, por lo tanto, multiplicamos las probabilidades posiblemente con el uso de un diagrama de árbol.

• La probabilidad de dos cabezas seguidas es (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• La probabilidad de tres cabezas seguidas es (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Para expresar la probabilidad de norte cabezas en una fila, donde norte es un número entero positivo, usamos exponentes para escribir 1/2^norte.

Algunos pagos

Ahora sigamos y veamos si podemos generalizar cuáles serían las ganancias en cada ronda..

• Si tienes una cabeza en la primera ronda, ganas un rublo para esa ronda.
• Si hay una cabeza en la segunda ronda, ganas dos rublos en esa ronda.
• Si hay una cabeza en la tercera ronda, entonces ganas cuatro rublos en esa ronda.
• Si has tenido la suerte de llegar hasta el norte^th ronda, entonces ganarás 2^n-1 rublos en esa ronda.

Valor esperado del juego

El valor esperado de un juego nos dice cuáles serían las ganancias promedio si jugaras muchas, muchas veces. Para calcular el valor esperado, multiplicamos el valor de las ganancias de cada ronda con la probabilidad de llegar a esta ronda y luego sumamos todos estos productos.

• Desde la primera ronda, tienes probabilidad 1/2 y ganancias de 1 rublo: 1/2 x 1 = 1/2
• A partir de la segunda ronda, tiene probabilidad 1/4 y ganancias de 2 rublos: 1/4 x 2 = 1/2
• Desde la primera ronda, tienes probabilidad de 1/8 y ganancias de 4 rublos: 1/8 x 4 = 1/2
• Desde la primera ronda, tiene probabilidad 1/16 y ganancias de 8 rublos: 1/16 x 8 = 1/2
• Desde la primera ronda, tienes probabilidad 1/2^norte y ganancias de 2^n-1 rublos: 1/2^norte x 2^n-1 = 1/2

El valor de cada ronda es 1/2, y sumando los resultados de la primera norte rondas juntas nos da un valor esperado de norte/ 2 rublos. Ya que norte puede ser cualquier número entero positivo, el valor esperado es ilimitado.

La paradoja

Entonces, ¿qué deberías pagar para jugar? Un rublo, mil rublos o incluso mil millones de rublos serían, a la larga, inferiores al valor esperado. A pesar del cálculo anterior que promete riquezas incalculables, todos todavía seríamos reacios a pagar mucho por jugar.

Existen numerosas formas de resolver la paradoja. Una de las formas más simples es que nadie ofrecería un juego como el descrito anteriormente. Nadie tiene los recursos infinitos que se necesitarían para pagarle a alguien que siguió volteando.

Otra forma de resolver la paradoja consiste en señalar cuán improbable es obtener algo así como 20 cabezas seguidas. Las probabilidades de que esto suceda son mejores que ganar la mayoría de las loterías estatales. La gente juega rutinariamente tales loterías por cinco dólares o menos. Entonces, el precio para jugar el juego de San Petersburgo probablemente no debería exceder unos pocos dólares.

Si el hombre en San Petersburgo dice que costará algo más que unos pocos rublos jugar su juego, debes rechazarlo cortésmente y alejarte. Los rublos no valen mucho de todos modos.