Comprender las ecuaciones equivalentes en álgebra

Las ecuaciones equivalentes son sistemas de ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Identificar y resolver ecuaciones equivalentes es una habilidad valiosa, no solo en la clase de álgebra sino también en la vida cotidiana. Eche un vistazo a ejemplos de ecuaciones equivalentes, cómo resolverlas para una o más variables y cómo podría usar esta habilidad fuera del aula.

Para llevar clave

• Las ecuaciones equivalentes son ecuaciones algebraicas que tienen soluciones o raíces idénticas..
• Sumar o restar el mismo número o expresión a ambos lados de una ecuación produce una ecuación equivalente.
• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero produce una ecuación equivalente.

Ecuaciones lineales con una variable

Los ejemplos más simples de ecuaciones equivalentes no tienen ninguna variable. Por ejemplo, estas tres ecuaciones son equivalentes entre sí:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Reconocer que estas ecuaciones son equivalentes es genial, pero no particularmente útil. Por lo general, un problema de ecuación equivalente le pide que resuelva una variable para ver si es la misma (la misma raíz) como el de otra ecuación.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones son equivalentes:

• x = 5
• -2x = -10

En ambos casos, x = 5. ¿Cómo sabemos esto? ¿Cómo se resuelve esto para la ecuación "-2x = -10"? El primer paso es conocer las reglas de ecuaciones equivalentes:

• Sumar o restar el mismo número o expresión a ambos lados de una ecuación produce una ecuación equivalente.
• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero produce una ecuación equivalente.
• Elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia impar o tomar la misma raíz impar producirá una ecuación equivalente.
• Si ambos lados de una ecuación no son negativos, elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia par o tomar la misma raíz par dará una ecuación equivalente.

Ejemplo

Poniendo en práctica estas reglas, determina si estas dos ecuaciones son equivalentes:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Para resolver esto, necesitas encontrar "x" para cada ecuación. Si "x" es igual para ambas ecuaciones, entonces son equivalentes. Si "x" es diferente (es decir, las ecuaciones tienen raíces diferentes), entonces las ecuaciones no son equivalentes. Para la primera ecuación:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (restando ambos lados por el mismo número)
• x = 5

Para la segunda ecuación:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (restando ambos lados por el mismo número)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dividiendo ambos lados de la ecuación por el mismo número)
• x = 5

Entonces, sí, las dos ecuaciones son equivalentes porque x = 5 en cada caso.