La probabilidad de rodar un Yahtzee
Share
Yahtzee es un juego de dados que involucra una combinación de oportunidad y estrategia. Un jugador comienza su turno tirando cinco dados. Después de este lanzamiento, el jugador puede decidir volver a tirar cualquier número de dados. Como máximo, hay un total de tres tiradas por turno. Después de estas tres tiradas, el resultado del dado se ingresa en una hoja de puntaje. Esta hoja de puntaje contiene diferentes categorías, como una casa llena o una escalera grande. Cada una de las categorías se satisface con diferentes combinaciones de dados..
La categoría más difícil de completar es la de un Yahtzee. Un Yahtzee ocurre cuando un jugador tira cinco del mismo número. ¿Qué tan improbable es un Yahtzee? Este es un problema mucho más complicado que encontrar probabilidades para dos o incluso tres dados. La razón principal es que hay muchas maneras de obtener cinco dados iguales durante tres tiradas..
Podemos calcular la probabilidad de lanzar un Yahtzee usando la fórmula combinatoria para combinaciones y dividiendo el problema en varios casos mutuamente excluyentes.
Un rollo
El caso más fácil de considerar es obtener un Yahtzee inmediatamente en el primer lanzamiento. Primero veremos la probabilidad de lanzar un Yahtzee particular de cinco a dos, y luego lo ampliaremos fácilmente a la probabilidad de cualquier Yahtzee.
La probabilidad de sacar un dos es 1/6, y el resultado de cada dado es independiente del resto. Por lo tanto, la probabilidad de sacar cinco dos es (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilidad de sacar cinco de un tipo de cualquier otro número también es 1/7776. Como hay un total de seis números diferentes en un dado, multiplicamos la probabilidad anterior por 6.
Esto significa que la probabilidad de un Yahtzee en el primer lanzamiento es 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0.08 por ciento.
Dos rollos
Si lanzamos algo que no sea cinco de una especie de la primera tirada, tendremos que volver a tirar algunos de nuestros dados para tratar de obtener un Yahtzee. Supongamos que nuestro primer lanzamiento tiene cuatro de un tipo. volveríamos a tirar el dado que no coincide y luego obtendríamos un Yahtzee en este segundo lanzamiento.
La probabilidad de obtener un total de cinco dos de esta manera se encuentra de la siguiente manera:
- En el primer rollo, tenemos cuatro dos. Como hay una probabilidad de 1/6 de sacar un dos, y 5/6 de no sacar un dos, multiplicamos (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
- Cualquiera de los cinco dados lanzados podría ser el no-dos. Usamos nuestra fórmula de combinación para C (5, 1) = 5 para contar cuántas maneras podemos sacar cuatro y dos y algo que no es un dos.
- Multiplicamos y vemos que la probabilidad de sacar exactamente cuatro dos en el primer lanzamiento es 25/7776.
- En el segundo lanzamiento, necesitamos calcular la probabilidad de tirar uno dos. Esto es 1/6. Por lo tanto, la probabilidad de lanzar un Yahtzee de dos en la forma anterior es (25/7776) x (1/6) = 25/46656.
Para encontrar la probabilidad de lanzar cualquier Yahtzee de esta manera, se multiplica la probabilidad anterior por 6 porque hay seis números diferentes en un dado. Esto da una probabilidad de 6 x 25/46656 = 0.32 por ciento.
Pero esta no es la única forma de rodar un Yahtzee con dos rollos. Todas las siguientes probabilidades se encuentran de manera muy similar a la anterior:
- Podríamos lanzar tres de un tipo, y luego dos dados que coincidan en nuestro segundo lanzamiento. La probabilidad de esto es 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0.54 por ciento.
- Podríamos lanzar un par que coincida, y en nuestro segundo lanzamiento tres dados que coincidan. La probabilidad de esto es 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0.36 por ciento.
- Podríamos lanzar cinco dados diferentes, salvar un dado de nuestro primer lanzamiento, y luego lanzar cuatro dados que coincidan en el segundo lanzamiento. La probabilidad de esto es (6! / 7776) x (1/1296) = 0.01 por ciento.
Los casos anteriores son mutuamente excluyentes. Esto significa que para calcular la probabilidad de lanzar un Yahtzee en dos rollos, sumamos las probabilidades anteriores y tenemos aproximadamente 1.23 por ciento.
Tres rollos
Para la situación más complicada hasta ahora, ahora examinaremos el caso en el que usamos nuestros tres rollos para obtener un Yahtzee. Podríamos hacer esto de varias maneras y debemos dar cuenta de todos ellos..
Las probabilidades de estas posibilidades se calculan a continuación:
