La probabilidad de una recta larga en Yahtzee en un solo rollo

Yahtzee es un juego de dados que usa cinco dados estándar de seis lados. En cada turno, los jugadores reciben tres tiradas para obtener varios objetivos diferentes. Después de cada lanzamiento, un jugador puede decidir cuáles de los dados (si los hay) se deben retener y cuáles se deben volver a tirar. Los objetivos incluyen una variedad de diferentes tipos de combinaciones, muchas de las cuales se toman del póker. Cada tipo diferente de combinación vale una cantidad diferente de puntos.

Dos de los tipos de combinaciones que los jugadores deben tirar se llaman rectas: una recta pequeña y una recta grande. Al igual que las rectas de póker, estas combinaciones consisten en dados secuenciales. Las rectas pequeñas emplean cuatro de los cinco dados y las rectas grandes usan los cinco dados. Debido a la aleatoriedad del lanzamiento de dados, la probabilidad se puede utilizar para analizar la probabilidad de lanzar una escalera grande en un solo lanzamiento..

Supuestos

Suponemos que los dados utilizados son justos e independientes entre sí. Por lo tanto, hay un espacio de muestra uniforme que consiste en todas las tiradas posibles de los cinco dados. Aunque Yahtzee permite tres rollos, por simplicidad solo consideraremos el caso de que obtengamos una recta grande en un solo rollo.

Espacio muestral

Como estamos trabajando con un espacio muestral uniforme, el cálculo de nuestra probabilidad se convierte en el cálculo de un par de problemas de conteo. La probabilidad de una escalera es la cantidad de formas de tirar una escalera, dividida por la cantidad de resultados en el espacio muestral.

Es muy fácil contar el número de resultados en el espacio muestral. Estamos lanzando cinco dados y cada uno de estos dados puede tener uno de seis resultados diferentes. Una aplicación básica del principio de multiplicación nos dice que el espacio muestral tiene 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6^{5 5} = 7776 resultados. Este número será el denominador de todas las fracciones que usamos para nuestras probabilidades..

Numero de rectas

A continuación, necesitamos saber cuántas formas hay de rodar una recta grande. Esto es más difícil que calcular el tamaño del espacio muestral. La razón por la que esto es más difícil es porque hay más sutileza en cómo contamos.

Una recta grande es más difícil de rodar que una recta pequeña, pero es más fácil contar la cantidad de formas de rodar una recta grande que la cantidad de formas de rodar una recta pequeña. Este tipo de escalera consiste en cinco números secuenciales. Dado que solo hay seis números diferentes en los dados, solo hay dos rectas grandes posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 2, 3, 4, 5, 6.

Ahora determinamos el número diferente de formas de tirar un conjunto particular de dados que nos dan una escalera. Para una escalera grande con los dados 1, 2, 3, 4, 5 podemos tener los dados en cualquier orden. Entonces, las siguientes son diferentes formas de rodar la misma recta:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Sería tedioso enumerar todas las formas posibles de obtener un 1, 2, 3, 4 y 5. Dado que solo necesitamos saber cuántas formas hay para hacerlo, podemos usar algunas técnicas básicas de conteo. Notamos que todo lo que estamos haciendo es permutar los cinco dados. Hay 5! = 120 formas de hacer esto. Como hay dos combinaciones de dados para hacer una recta grande y 120 formas de tirar cada una de ellas, hay 2 x 120 = 240 formas de tirar una recta grande.

Probabilidad

Ahora la probabilidad de rodar una recta grande es un simple cálculo de división. Como hay 240 formas de tirar una recta grande en una sola tirada y hay 7776 tiradas de cinco dados posibles, la probabilidad de tirar una recta grande es 240/7776, que está cerca de 1/32 y 3.1%.

Por supuesto, es más probable que el primer lanzamiento no sea una escalera. Si este es el caso, entonces se nos permiten dos rollos más, lo que hace que una escalera sea mucho más probable. La probabilidad de esto es mucho más complicada de determinar debido a todas las situaciones posibles que deberían considerarse.