Cómo usar 'If and Only If' en Matemáticas

Al leer sobre estadística y matemáticas, una frase que aparece regularmente es "si y solo si". Esta frase aparece particularmente dentro de las declaraciones de teoremas o pruebas matemáticas. Pero, ¿qué significa precisamente esta afirmación??

¿Qué significa If y Only If en matemáticas??

Para entender "si y solo si", primero debemos saber qué se entiende por una declaración condicional. Una declaración condicional es aquella que se forma a partir de otras dos declaraciones, que denotaremos por P y Q. Para formar una declaración condicional, podríamos decir "si P entonces Q".

Los siguientes son ejemplos de este tipo de declaración:

• Si está lloviendo afuera, entonces llevo mi paraguas conmigo en mi caminata.
• Si estudias mucho, obtendrás una A.
• Si norte es divisible por 4, entonces norte es divisible por 2.

Converse y condicionales

Otras tres declaraciones están relacionadas con cualquier declaración condicional. Estos se llaman lo inverso, lo inverso y lo contrapositivo. Formamos estas declaraciones cambiando el orden de P y Q del condicional original e insertando la palabra "no" para el inverso y el contrapositivo.

Solo tenemos que considerar lo contrario aquí. Esta declaración se obtiene del original diciendo "si Q entonces P." Supongamos que comenzamos con el condicional "si está lloviendo afuera, entonces llevo mi paraguas conmigo en mi caminata". Lo contrario de esta declaración es "si yo lleva mi paraguas conmigo en mi caminata, entonces está lloviendo afuera ”.

Solo necesitamos considerar este ejemplo para darnos cuenta de que el condicional original no es lógicamente el mismo que su inverso. La confusión de estas dos formas de declaración se conoce como un error inverso. Uno podría llevar un paraguas a caminar aunque no esté lloviendo afuera.

Para otro ejemplo, consideramos el condicional "Si un número es divisible por 4, entonces es divisible por 2." Esta afirmación es claramente cierta. Sin embargo, lo contrario de esta afirmación "Si un número es divisible por 2, entonces es divisible por 4" es falso. Solo necesitamos mirar un número como 6. Aunque 2 divide este número, 4 no. Si bien la afirmación original es verdadera, su inverso no es.

Bicondicional

Esto nos lleva a una declaración bicondicional, que también se conoce como una declaración "si y solo si". Ciertas declaraciones condicionales también tienen conversaciones que son verdaderas. En este caso, podemos formar lo que se conoce como una declaración bicondicional. Una declaración bicondicional tiene la forma:

"Si P entonces Q, y si Q entonces P."

Dado que esta construcción es algo incómoda, especialmente cuando P y Q son sus propias declaraciones lógicas, simplificamos la declaración de un bicondicional usando la frase "si y solo si". En lugar de decir "si P entonces Q, y si Q entonces P" en su lugar decimos "P si y solo si Q". Esta construcción elimina algunas redundancias..

Ejemplo de estadísticas

Para ver un ejemplo de la frase “si y solo si” que involucra estadísticas, no busque más que un hecho relacionado con la desviación estándar de la muestra. La desviación estándar de muestra de un conjunto de datos es igual a cero si y solo si todos los valores de datos son idénticos.

Rompemos esta declaración bicondicional en condicional y su inverso. Entonces vemos que esta declaración significa lo siguiente:

• Si la desviación estándar es cero, entonces todos los valores de datos son idénticos.
• Si todos los valores de datos son idénticos, entonces la desviación estándar es igual a cero.

Prueba de bicondicional

Si intentamos probar un bicondicional, la mayoría de las veces terminamos dividiéndolo. Esto hace que nuestra prueba tenga dos partes. Una parte que demostramos es "si P entonces Q". La otra parte de la prueba que necesitamos es "si Q entonces P."

Condiciones necesarias y suficientes

Las declaraciones bicondicionales están relacionadas con condiciones que son necesarias y suficientes. Considere la afirmación "si hoy es Pascua, entonces mañana es lunes". Hoy ser Pascua es suficiente para que mañana sea lunes, sin embargo, no es necesario. Hoy podría ser cualquier domingo que no sea Pascua, y mañana todavía sería lunes.

Abreviatura

La frase "si y solo si" se usa con suficiente frecuencia en la escritura matemática que tiene su propia abreviatura. A veces, el bicondicional en el enunciado de la frase "si y solo si" se acorta a simplemente "iff". Por lo tanto, el enunciado "P si y solo si Q" se convierte en "P iff Q".