Grados de Libertad en Estadística y Matemáticas

En estadística, los grados de libertad se utilizan para definir el número de cantidades independientes que se pueden asignar a una distribución estadística. Este número generalmente se refiere a un número entero positivo que indica la falta de restricciones en la capacidad de una persona para calcular los factores faltantes a partir de problemas estadísticos..

Los grados de libertad actúan como variables en el cálculo final de una estadística y se utilizan para determinar el resultado de diferentes escenarios en un sistema, y ​​en matemáticas los grados de libertad definen el número de dimensiones en un dominio que se necesita para determinar el vector completo.

Para ilustrar el concepto de un grado de libertad, veremos un cálculo básico relativo a la media de la muestra, y para encontrar la media de una lista de datos, sumamos todos los datos y dividimos por el número total de valores.

Una ilustración con una media de muestra

Supongamos por un momento que sabemos que la media de un conjunto de datos es 25 y que los valores en este conjunto son 20, 10, 50 y un número desconocido. La fórmula para una media muestral nos da la ecuación (20 + 10 + 50 + x) / 4 = 25, dónde X denota lo desconocido, usando algo de álgebra básica, uno puede determinar que el número faltante, X, es igual a 20.

Alteremos este escenario un poco. Nuevamente, suponemos que sabemos que la media de un conjunto de datos es 25. Sin embargo, esta vez los valores en el conjunto de datos son 20, 10 y dos valores desconocidos. Estas incógnitas podrían ser diferentes, por lo que utilizamos dos variables diferentes, X, y y, para denotar esto. La ecuación resultante es (20 + 10 + x + y) / 4 = 25. Con algo de álgebra, obtenemos y = 70- X. La fórmula está escrita en este formulario para mostrar que una vez que elegimos un valor para X, el valor para y Está completamente determinado. Tenemos una elección que hacer, y esto demuestra que hay un grado de libertad.

Ahora veremos un tamaño de muestra de cien. Si sabemos que la media de estos datos de muestra es 20, pero no conocemos los valores de ninguno de los datos, entonces hay 99 grados de libertad. Todos los valores deben sumar un total de 20 x 100 = 2000. Una vez que tenemos los valores de 99 elementos en el conjunto de datos, se determina el último..

Puntuación t de Student y distribución Chi-Square

Los grados de libertad juegan un papel importante cuando se usa el Estudiante t-tabla de puntuaciones En realidad hay varios puntaje t distribuciones Diferenciamos entre estas distribuciones mediante el uso de grados de libertad.

Aquí la distribución de probabilidad que usamos depende del tamaño de nuestra muestra. Si nuestro tamaño de muestra es norte, entonces el número de grados de libertad es norte-1. Por ejemplo, un tamaño de muestra de 22 requeriría que usemos la fila de t-tabla de puntuaciones con 21 grados de libertad.

El uso de una distribución de chi-cuadrado también requiere el uso de grados de libertad. Aquí, de manera idéntica a la del puntaje t distribución, el tamaño de la muestra determina qué distribución usar. Si el tamaño de la muestra es norte, entonces hay n-1 grados de libertad.

Desviación estándar y técnicas avanzadas

Otro lugar donde aparecen los grados de libertad es en la fórmula para la desviación estándar. Este hecho no es tan evidente, pero podemos verlo si sabemos dónde buscar. Para encontrar una desviación estándar, buscamos la desviación "promedio" de la media. Sin embargo, después de restar la media de cada valor de datos y cuadrar las diferencias, terminamos dividiendo por n-1 más bien que norte como podríamos esperar.

La presencia de la n-1 proviene del número de grados de libertad. Desde el norte los valores de datos y la media muestral se están utilizando en la fórmula, hay n-1 grados de libertad.

Las técnicas estadísticas más avanzadas utilizan formas más complicadas de contar los grados de libertad. Al calcular el estadístico de prueba para dos medias con muestras independientes de norte₁ y norte₂ elementos, el número de grados de libertad tiene una fórmula bastante complicada. Se puede estimar utilizando el menor de norte₁-1 y norte₂-1

Otro ejemplo de una forma diferente de contar los grados de libertad viene con un F prueba. Al conducir un F prueba que tenemos k muestras de cada tamaño norte-los grados de libertad en el numerador es k-1 y en el denominador es k(norte-1).