Cálculos con la función gamma

La función gamma se define mediante la siguiente fórmula de aspecto complicado:

Γ ( z ) = ∫_{0 0}^∞mi ^{- t}t^z-1dt

Una pregunta que las personas tienen cuando se encuentran por primera vez con esta ecuación confusa es: "¿Cómo se usa esta fórmula para calcular los valores de la función gamma?" Esta es una pregunta importante, ya que es difícil saber qué significa esta función y qué significa los símbolos representan.

Una forma de responder a esta pregunta es mirando varios cálculos de muestra con la función gamma. Antes de hacer esto, hay algunas cosas del cálculo que debemos saber, como cómo integrar una integral impropia tipo I, y que e es una constante matemática. 

Motivación

Antes de hacer cualquier cálculo, examinamos la motivación detrás de estos cálculos. Muchas veces las funciones gamma aparecen detrás de escena. Varias funciones de densidad de probabilidad se expresan en términos de la función gamma. Ejemplos de estos incluyen la distribución gamma y la distribución t de Student. No se puede exagerar la importancia de la función gamma.. 

Γ (1)

El primer ejemplo de cálculo que estudiaremos es encontrar el valor de la función gamma para Γ (1). Esto se encuentra configurando z = 1 en la fórmula anterior:

∫_{0 0}^∞mi ^{- t}dt

Calculamos la integral anterior en dos pasos:

• La integral indefinida ∫mi ^{- t}dt= -mi ^{- t} + C
• Esta es una integral impropia, entonces tenemos ∫_{0 0}^∞mi ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -mi ^{- si} + mi ^{0 0} = 1

Γ (2)

El siguiente cálculo de ejemplo que consideraremos es similar al último ejemplo, pero aumentamos el valor de z por 1. Ahora calculamos el valor de la función gamma para Γ (2) configurando z = 2 en la fórmula anterior. Los pasos son los mismos que los anteriores:

Γ (2) = ∫_{0 0}^∞mi ^{- t}t dt

La integral indefinida ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -mi ^{- t} + C. Aunque solo hemos aumentado el valor de z por 1, se necesita más trabajo para calcular esta integral. Para encontrar esta integral, debemos usar una técnica de cálculo conocida como integración por partes. Ahora usamos los límites de integración tal como se indica arriba y necesitamos calcular:

lim_{b → ∞} - ser ^{- si} -mi ^{- si} -0e ^{0 0} + mi ^{0 0}.

Un resultado del cálculo conocido como la regla de L'Hospital nos permite calcular el límite lim_{b → ∞} - ser ^{- si} = 0. Esto significa que el valor de nuestra integral anterior es 1.

Γ (z +1) =zΓ (z )

Otra característica de la función gamma y que la conecta con el factorial es la fórmula Γ (z +1) =zΓ (z ) para z cualquier número complejo con una parte real positiva. La razón por la cual esto es cierto es un resultado directo de la fórmula para la función gamma. Al usar la integración por partes podemos establecer esta propiedad de la función gamma.