¿Qué son los momentos en las estadísticas?
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Los momentos en estadística matemática implican un cálculo básico. Estos cálculos se pueden usar para encontrar la media, la varianza y la asimetría de una distribución de probabilidad.
Supongamos que tenemos un conjunto de datos con un total de norte puntos discretos Un cálculo importante, que en realidad es varios números, se llama sMomento los sMomento del conjunto de datos con valores X1, X2, X3,... , Xnorte está dado por la fórmula:
(X1s + X2s + X3s +... + Xnortes) /norte
El uso de esta fórmula requiere que tengamos cuidado con nuestro orden de operaciones. Necesitamos hacer los exponentes primero, sumar, luego dividir esta suma por norte el número total de valores de datos.
Una nota sobre el término 'Momento'
El termino momento ha sido tomado de la física. En física, el momento de un sistema de masas de puntos se calcula con una fórmula idéntica a la anterior, y esta fórmula se usa para encontrar el centro de masa de los puntos. En estadística, los valores ya no son masas, pero como veremos, los momentos en estadísticas aún miden algo relativo al centro de los valores.
Primer momento
Para el primer momento, establecemos s = 1. La fórmula para el primer momento es así:
(X1X2 + X3 +... + Xnorte) /norte
Esto es idéntico a la fórmula para la media muestral.
El primer momento de los valores 1, 3, 6, 10 es (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Segundo momento
Por el segundo momento establecemos s = 2. La fórmula para el segundo momento es:
(X12 + X22 + X32 +... + Xnorte2) /norte
El segundo momento de los valores 1, 3, 6, 10 es (12 + 32 + 6 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36.5.
Tercer momento
Por tercer momento nos ponemos s = 3. La fórmula para el tercer momento es:
(X13 + X23 + X33 +... + Xnorte3) /norte
El tercer momento de los valores 1, 3, 6, 10 es (13 + 33 + 6 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.
Los momentos superiores se pueden calcular de manera similar. Solo reemplace s en la fórmula anterior con el número que indica el momento deseado.
Momentos sobre la media
Una idea relacionada es la del sMomento sobre la media. En este cálculo realizamos los siguientes pasos:
- Primero, calcule la media de los valores.
- Luego, reste esta media de cada valor.
- Luego eleva cada una de estas diferencias a sth poder.
- Ahora agregue los números del paso 3 juntos.
- Finalmente, divida esta suma por la cantidad de valores con los que comenzamos.
La fórmula para el sMomento sobre la media metro de los valores valores X1, X2, X3,... , Xnorte es dado por:
metros = ((X1 - metro)s + (X2 - metro)s + (X3 - metro)s +… + (Xnorte - metro)s) /norte
Primer momento sobre la media
El primer momento sobre la media siempre es igual a cero, sin importar el conjunto de datos con el que estamos trabajando. Esto se puede ver en lo siguiente:
metro1 = ((X1 - metro) + (X2 - metro) + (X3 - metro) +… + (Xnorte - metro)) /norte = ((X1+ X2 + X3 +... + Xnorte) - Nuevo Méjico) /norte = metro - metro = 0.
Segundo momento sobre la media
El segundo momento sobre la media se obtiene de la fórmula anterior estableciendos = 2:
metro2 = ((X1 - metro)2 + (X2 - metro)2 + (X3 - metro)2 +… + (Xnorte - metro)2) /norte
Esta fórmula es equivalente a la de la varianza muestral..
Por ejemplo, considere el conjunto 1, 3, 6, 10. Ya hemos calculado que la media de este conjunto es 5. Reste esto de cada uno de los valores de datos para obtener diferencias de:
- 1 - 5 = -4
- 3 - 5 = -2
- 6 - 5 = 1
- 10 - 5 = 5
Cuadramos cada uno de estos valores y los sumamos: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 5 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Finalmente, divida este número por el número de puntos de datos: 46/4 = 11.5
Aplicaciones de momentos
Como se mencionó anteriormente, el primer momento es la media y el segundo momento sobre la media es la varianza de la muestra. Karl Pearson introdujo el uso del tercer momento sobre la media en el cálculo de la asimetría y el cuarto momento sobre la media en el cálculo de la curtosis.
