¿Cuándo es la desviación estándar igual a cero?

La desviación estándar de la muestra es una estadística descriptiva que mide la propagación de un conjunto de datos cuantitativos. Este número puede ser cualquier número real no negativo. Dado que cero es un número real no negativo, parece que vale la pena preguntar: "¿Cuándo será la desviación estándar de la muestra igual a cero?" Esto ocurre en el caso muy especial y muy inusual cuando todos nuestros valores de datos son exactamente iguales. Exploraremos las razones por las cuales.

Descripción de la desviación estándar

Dos preguntas importantes que normalmente queremos responder sobre un conjunto de datos incluyen:

• ¿Cuál es el centro del conjunto de datos??
• ¿Cuán extendido es el conjunto de datos??

Existen diferentes medidas, llamadas estadísticas descriptivas que responden estas preguntas. Por ejemplo, el centro de los datos, también conocido como el promedio, se puede describir en términos de la media, la mediana o la moda. Se pueden usar otras estadísticas, que son menos conocidas, como la bisagra media o el trimean.

Para la difusión de nuestros datos, podríamos usar el rango, el rango intercuartil o la desviación estándar. La desviación estándar se combina con la media para cuantificar la propagación de nuestros datos. Entonces podemos usar este número para comparar múltiples conjuntos de datos. Cuanto mayor sea nuestra desviación estándar, mayor será la propagación.

Intuición

Entonces, consideremos de esta descripción lo que significaría tener una desviación estándar de cero. Esto indicaría que no hay propagación en absoluto en nuestro conjunto de datos. Todos los valores de datos individuales se agruparían en un solo valor. Dado que nuestros datos solo podrían tener un valor, este valor constituiría la media de nuestra muestra.

En esta situación, cuando todos nuestros valores de datos son iguales, no habría variación alguna. Intuitivamente tiene sentido que la desviación estándar de dicho conjunto de datos sea cero.

Prueba matemática

La desviación estándar de la muestra se define mediante una fórmula. Por lo tanto, cualquier afirmación como la anterior debe probarse utilizando esta fórmula. Comenzamos con un conjunto de datos que se ajusta a la descripción anterior: todos los valores son idénticos y hay norte valores iguales a X.

Calculamos la media de este conjunto de datos y vemos que es

 X = (X + X +... + X) /norte = nx/ /norte = X.

Ahora, cuando calculamos las desviaciones individuales de la media, vemos que todas estas desviaciones son cero. En consecuencia, la varianza y la desviación estándar son iguales a cero..

Necesario y suficiente

Vemos que si el conjunto de datos no muestra variación, entonces su desviación estándar es cero. Podemos preguntar si lo contrario de esta afirmación también es cierto. Para ver si es así, usaremos la fórmula para la desviación estándar nuevamente. Esta vez, sin embargo, estableceremos la desviación estándar igual a cero. No haremos suposiciones sobre nuestro conjunto de datos, pero veremos qué configuración s = 0 implica

Suponga que la desviación estándar de un conjunto de datos es igual a cero. Esto implicaría que la varianza muestral s² también es igual a cero. El resultado es la ecuación:

0 = (1 / (norte - 1)) ∑ (X_yo - X )²

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por norte - 1 y ver que la suma de las desviaciones al cuadrado es igual a cero. Como estamos trabajando con números reales, la única forma de que esto ocurra es que cada una de las desviaciones al cuadrado sea igual a cero. Esto significa que por cada yo, el termino (X_yo - X )² = 0.

Ahora tomamos la raíz cuadrada de la ecuación anterior y vemos que cada desviación de la media debe ser igual a cero. Ya que para todos yo,

X_yo - X = 0

Esto significa que cada valor de datos es igual a la media. Este resultado junto con el anterior nos permite decir que la desviación estándar de muestra de un conjunto de datos es cero si y solo si todos sus valores son idénticos.