¿Cuál es la distribución binomial negativa?

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad que se usa con variables aleatorias discretas. Este tipo de distribución se refiere al número de pruebas que deben realizarse para tener un número predeterminado de éxitos. Como veremos, la distribución binomial negativa está relacionada con la distribución binomial. Además, esta distribución generaliza la distribución geométrica..

El ajuste

Comenzaremos observando tanto el entorno como las condiciones que dan lugar a una distribución binomial negativa. Muchas de estas condiciones son muy similares a un entorno binomial..

1. Tenemos un experimento de Bernoulli. Esto significa que cada prueba que realizamos tiene un éxito y un fracaso bien definidos y que estos son los únicos resultados.
2. La probabilidad de éxito es constante, no importa cuántas veces realicemos el experimento. Denotamos esta probabilidad constante con un pag.
3. El experimento se repite para X ensayos independientes, lo que significa que el resultado de un ensayo no tiene ningún efecto sobre el resultado de un ensayo posterior. 

Estas tres condiciones son idénticas a las de una distribución binomial. La diferencia es que una variable aleatoria binomial tiene un número fijo de ensayos norte.  Los únicos valores de X son 0, 1, 2, ... , norte, así que esta es una distribución finita.

Una distribución binomial negativa se refiere al número de ensayos. X eso debe ocurrir hasta que tengamos r éxitos El número r es un número entero que elegimos antes de comenzar a realizar nuestras pruebas. La variable aleatoria X Aún es discreto. Sin embargo, ahora la variable aleatoria puede tomar valores de X = r, r + 1, r + 2, ... Esta variable aleatoria es infinitamente contable, ya que podría tomar un tiempo arbitrariamente largo antes de obtener r éxitos.

Ejemplo

Para ayudar a dar sentido a una distribución binomial negativa, vale la pena considerar un ejemplo. Supongamos que lanzamos una moneda justa y hacemos la pregunta: "¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos tres caras en la primera X lanzamientos de monedas? "Esta es una situación que requiere una distribución binomial negativa. 

Los lanzamientos de monedas tienen dos resultados posibles, la probabilidad de éxito es 1/2 constante y las pruebas son independientes entre sí. Pedimos la probabilidad de obtener las primeras tres cabezas después X lanzamientos de monedas. Por lo tanto, tenemos que lanzar la moneda al menos tres veces. Luego seguimos volteando hasta que aparezca la tercera cabeza.

Para calcular las probabilidades relacionadas con una distribución binomial negativa, necesitamos más información. Necesitamos saber la función de masa de probabilidad.

Función de probabilidad

La función de masa de probabilidad para una distribución binomial negativa se puede desarrollar con un poco de reflexión. Cada prueba tiene una probabilidad de éxito dada por pag.  Dado que solo hay dos resultados posibles, esto significa que la probabilidad de falla es constante (1 - pag ).

los rEl éxito debe ocurrir para el XJuicio final y final. El anterior X - 1 ensayos deben contener exactamente r - 1 éxitos La cantidad de formas en que esto puede ocurrir viene dada por la cantidad de combinaciones:

C(X - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!]. 

Además de esto, tenemos eventos independientes, por lo que podemos multiplicar nuestras probabilidades juntas. Al unir todo esto, obtenemos la función de masa de probabilidad

F(X) = C (X - 1, r -1) pag^r(1 - pag)^{X - r}.

El nombre de la distribución

Ahora estamos en condiciones de comprender por qué esta variable aleatoria tiene una distribución binomial negativa. El número de combinaciones que encontramos arriba se puede escribir de manera diferente estableciendo x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1) (x + k - 2)… (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1)… (-r - (k + 1) / k!.

Aquí vemos la aparición de un coeficiente binomial negativo, que se utiliza cuando elevamos una expresión binomial (a + b) a una potencia negativa.

Media

Es importante saber la media de una distribución porque es una forma de denotar el centro de la distribución. La media de este tipo de variable aleatoria viene dada por su valor esperado y es igual a r / / pag.  Podemos probar esto cuidadosamente usando la función de generación de momentos para esta distribución.

La intuición también nos guía a esta expresión. Supongamos que realizamos una serie de pruebas norte₁ hasta que obtengamos r éxitos Y luego hacemos esto de nuevo, solo que esta vez lleva norte₂ juicios. Continuamos esto una y otra vez, hasta que tengamos un gran número de grupos de ensayos. norte = norte₁ + norte₂  +... +  norte_k.

Cada uno de estos k ensayos contiene r éxitos, y así tenemos un total de kr éxitos Si norte  es grande, entonces esperaríamos ver sobre Notario público éxitos Así, los igualamos y tenemos kr = Np.

Hacemos algo de álgebra y encontramos que N / k = r / p.  La fracción en el lado izquierdo de esta ecuación es el número promedio de pruebas requeridas para cada uno de nuestros k grupos de ensayos. En otras palabras, este es el número esperado de veces para realizar el experimento para que tengamos un total de r éxitos Esta es exactamente la expectativa que deseamos encontrar. Vemos que esto es igual a la fórmula r / p.

Diferencia

La varianza de la distribución binomial negativa también se puede calcular utilizando la función de generación de momentos. Cuando hacemos esto, vemos que la varianza de esta distribución viene dada por la siguiente fórmula:

r (1 - pag) /pag²

Función generadora de momentos

La función generadora de momento para este tipo de variable aleatoria es bastante complicada. Recuerde que la función de generación de momentos se define como el valor esperado E [e^tX] Al usar esta definición con nuestra función de masa de probabilidad, tenemos:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!]mi^tXpag^r(1 - pag)^{X - r}

Después de un poco de álgebra, esto se convierte en M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Relación con otras distribuciones

Hemos visto anteriormente cómo la distribución binomial negativa es similar en muchos aspectos a la distribución binomial. Además de esta conexión, la distribución binomial negativa es una versión más general de una distribución geométrica..  

Una variable aleatoria geométrica X cuenta el número de pruebas necesarias antes de que ocurra el primer éxito. Es fácil ver que esta es exactamente la distribución binomial negativa, pero con r igual a uno.

Existen otras formulaciones de la distribución binomial negativa. Algunos libros de texto definen X ser el número de pruebas hasta r ocurren fallas.

Problema de ejemplo

Veremos un problema de ejemplo para ver cómo trabajar con la distribución binomial negativa. Supongamos que un jugador de baloncesto es un tirador de tiros libres del 80%. Además, suponga que hacer un tiro libre es independiente de hacer el siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que para este jugador la octava canasta se realice en el décimo tiro libre??

Vemos que tenemos una configuración para una distribución binomial negativa. La probabilidad constante de éxito es 0.8, por lo que la probabilidad de falla es 0.2. Queremos determinar la probabilidad de X = 10 cuando r = 8.

Conectamos estos valores a nuestra función de probabilidad de masa:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36 (0.8)⁸(0.2)², que es aproximadamente el 24%.

Entonces podríamos preguntar cuál es el número promedio de tiros libres antes de que este jugador haga ocho de ellos. Como el valor esperado es 8 / 0.8 = 10, este es el número de disparos.