¿Cuál es la diferencia de dos conjuntos en la teoría de conjuntos?

La diferencia de dos conjuntos, escritos UN - si es el conjunto de todos los elementos de UN que no son elementos de si. La operación de diferencia, junto con la unión y la intersección, es una operación de teoría de conjuntos importante y fundamental..

Descripción de la diferencia

La sustracción de un número de otro se puede pensar de muchas maneras diferentes. Un modelo para ayudar a comprender este concepto se llama modelo para llevar de resta. En esto, el problema 5 - 2 = 3 se demostraría comenzando con cinco objetos, eliminando dos de ellos y contando que quedaban tres. De forma similar a como encontramos la diferencia entre dos números, podemos encontrar la diferencia de dos conjuntos.

Un ejemplo

Veremos un ejemplo de la diferencia establecida. Para ver cómo la diferencia de dos conjuntos forma un nuevo conjunto, consideremos los conjuntos UN = 1, 2, 3, 4, 5 y si = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Para encontrar la diferencia UN - si de estos dos conjuntos, comenzamos escribiendo todos los elementos de UN, y luego quitar todos los elementos de UN eso también es un elemento de si. Ya que UN comparte los elementos 3, 4 y 5 con si, esto nos da la diferencia establecida UN - si = 1, 2.

El orden es importante

Así como las diferencias 4 - 7 y 7 - 4 nos dan diferentes respuestas, debemos tener cuidado con el orden en que calculamos la diferencia establecida. Para usar un término técnico de las matemáticas, diríamos que la operación de diferencia de conjuntos no es conmutativa. Lo que esto significa es que, en general, no podemos cambiar el orden de la diferencia de dos conjuntos y esperar el mismo resultado. Podemos decir con mayor precisión que para todos los conjuntos UN y si, UN - si no es igual a si - UN.

Para ver esto, consulte el ejemplo anterior. Calculamos que para los conjuntos UN = 1, 2, 3, 4, 5 y si = 3, 4, 5, 6, 7, 8, la diferencia UN - si = 1, 2. Para comparar esto con si - UN, comenzamos con los elementos de si, que son 3, 4, 5, 6, 7, 8, y luego eliminan el 3, el 4 y el 5 porque estos son comunes con UN. El resultado es si - UN = 6, 7, 8. Este ejemplo nos muestra claramente que A - B no es igual a B - A.

El complemento

Un tipo de diferencia es lo suficientemente importante como para garantizar su propio nombre y símbolo especial. Esto se llama complemento, y se usa para la diferencia de conjunto cuando el primer conjunto es el conjunto universal. El complemento de UN viene dada por la expresión U - UN. Esto se refiere al conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no son elementos de UN. Dado que se entiende que el conjunto de elementos que podemos elegir se toman del conjunto universal, simplemente podemos decir que el complemento de UN es el conjunto compuesto por elementos que no son elementos de UN.

El complemento de un conjunto es relativo al conjunto universal con el que estamos trabajando. Con UN = 1, 2, 3 y U = 1, 2, 3, 4, 5, el complemento de UN es 4, 5. Si nuestro conjunto universal es diferente, digamos U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, entonces el complemento de UN -3, -2, -1, 0. Siempre asegúrese de prestar atención a qué conjunto universal se está utilizando.

Notación para el complemento

La palabra "complemento" comienza con la letra C, por lo que se usa en la notación. El complemento del conjunto UN está escrito como UN^C. Entonces podemos expresar la definición del complemento en símbolos como: UN^C = U - UN.

Otra forma que se usa comúnmente para denotar el complemento de un conjunto implica un apóstrofe, y se escribe como UN'.

Otras identidades que involucran la diferencia y los complementos

Hay muchas identidades de conjuntos que implican el uso de las operaciones de diferencia y complemento. Algunas identidades combinan otras operaciones de conjunto, como la intersección y la unión. Algunos de los más importantes se indican a continuación. Para todos los conjuntos UN, y si y re tenemos:

• UN - UN = ∅
• UN - ∅ = UN
• ∅ - UN = ∅
• UN - U = ∅
• (UN^C)^C = UN
• Ley de DeMorgan I: (UN ∩ si)^C = UN^C ∪ si^C
• Ley II de DeMorgan: (UN ∪ si)^C = UN^C ∩ si^C