¿Cuál es la desigualdad de Markov?

La desigualdad de Markov es un resultado útil en la probabilidad que proporciona información sobre una distribución de probabilidad. El aspecto notable al respecto es que la desigualdad es válida para cualquier distribución con valores positivos, sin importar qué otras características tenga. La desigualdad de Markov da un límite superior para el porcentaje de la distribución que está por encima de un valor particular.

Declaración de la desigualdad de Markov

La desigualdad de Markov dice que para una variable aleatoria positiva X y cualquier número real positivo un, la probabilidad de que X es mayor o igual a un es menor o igual que el valor esperado de X dividido por un.

La descripción anterior se puede establecer de manera más sucinta utilizando la notación matemática. En símbolos, escribimos la desigualdad de Markov como:

PAG (X ≥ un) ≤ mi( X) /un

Ilustración de la desigualdad

Para ilustrar la desigualdad, supongamos que tenemos una distribución con valores no negativos (como una distribución de chi-cuadrado). Si esta variable aleatoria X tiene un valor esperado de 3 veremos las probabilidades de algunos valores de un.

• por un = 10 La desigualdad de Markov dice que PAG (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Entonces hay un 30% de probabilidad de que X es mayor que 10.
• por un = 30 La desigualdad de Markov dice que PAG (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Entonces hay un 10% de probabilidad de que X es mayor que 30.
• por un = 3 La desigualdad de Markov dice que PAG (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Los eventos con una probabilidad de 1 = 100% son ciertos. Entonces esto dice que algún valor de la variable aleatoria es mayor o igual a 3. Esto no debería ser demasiado sorprendente. Si todos los valores de X fueron inferiores a 3, entonces el valor esperado también sería inferior a 3.
• Como el valor de un aumenta, el cociente mi(X) /un se hará cada vez más pequeño. Esto significa que la probabilidad es muy pequeña de que X Es muy, muy grande. Nuevamente, con un valor esperado de 3, no esperaríamos que haya mucha distribución con valores que sean muy grandes..

Uso de la desigualdad

Si sabemos más sobre la distribución con la que estamos trabajando, entonces generalmente podemos mejorar la desigualdad de Markov. El valor de usarlo es que se cumple para cualquier distribución con valores no negativos.

Por ejemplo, si conocemos la altura media de los estudiantes en una escuela primaria. La desigualdad de Markov nos dice que no más de una sexta parte de los estudiantes pueden tener una altura superior a seis veces la altura media.

El otro uso importante de la desigualdad de Markov es probar la desigualdad de Chebyshev. Este hecho hace que el nombre de "desigualdad de Chebyshev" se aplique también a la desigualdad de Markov. La confusión de nombrar las desigualdades también se debe a circunstancias históricas. Andrey Markov fue alumno de Pafnuty Chebyshev. El trabajo de Chebyshev contiene la desigualdad que se atribuye a Markov.