¿Qué es la probabilidad condicional?
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Un claro ejemplo de la probabilidad condicional es la probabilidad de que una carta extraída de un mazo de cartas estándar sea un rey. Hay un total de cuatro reyes de 52 cartas, por lo que la probabilidad es simplemente 4/52. Relacionado con este cálculo está la siguiente pregunta: "¿Cuál es la probabilidad de que saquemos un rey dado que ya hemos robado una carta del mazo y es un as?" Aquí consideramos el contenido del mazo de cartas. Todavía hay cuatro reyes, pero ahora solo hay 51 cartas en el mazo. La probabilidad de sacar un rey dado que ya se ha sacado un as es 4/51.
La probabilidad condicional se define como la probabilidad de un evento dado que ha ocurrido otro evento. Si nombramos estos eventos UN y si, entonces podemos hablar sobre la probabilidad de UN dado si. También podríamos referirnos a la probabilidad de UN depende de si.
Notación
La notación de probabilidad condicional varía de un libro de texto a otro. En todas las anotaciones, la indicación es que la probabilidad a la que nos referimos depende de otro evento. Una de las notaciones más comunes para la probabilidad de UN dado si es P (A | B). Otra notación que se usa es PAGsi( UN ).
Fórmula
Hay una fórmula para la probabilidad condicional que conecta esto con la probabilidad de UN y si:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)
Esencialmente, lo que dice esta fórmula es que para calcular la probabilidad condicional del evento UN dado el evento si, cambiamos nuestro espacio muestral para que consista solo en el conjunto si. Al hacer esto, no consideramos todo el evento UN, pero solo la parte de UN eso también está contenido en si. El conjunto que acabamos de describir se puede identificar en términos más familiares como la intersección de UN y si.
Podemos usar el álgebra para expresar la fórmula anterior de una manera diferente:
P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)
Ejemplo
Revisaremos el ejemplo con el que comenzamos a la luz de esta información. Queremos saber la probabilidad de sacar un rey dado que ya se ha sacado un as. Así el evento UN es que dibujamos un rey. Evento si es que dibujamos un as.
La probabilidad de que ocurran ambos eventos y sacamos un as y luego un rey corresponde a P (A ∩ B). El valor de esta probabilidad es 12/2652. La probabilidad de evento si, que sacamos un as es 4/52. Por lo tanto, utilizamos la fórmula de probabilidad condicional y vemos que la probabilidad de sacar un rey dado que se ha sacado un as es (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Otro ejemplo
Para otro ejemplo, veremos el experimento de probabilidad donde tiramos dos dados. Una pregunta que podríamos hacer es: "¿Cuál es la probabilidad de que hayamos sacado un tres, dado que hemos sacado una suma de menos de seis?"
Aquí el evento UN es que hemos rodado un tres, y el evento si es que hemos tirado una suma de menos de seis. Hay un total de 36 formas de lanzar dos dados. De estas 36 formas, podemos obtener una suma de menos de seis de diez maneras:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Eventos independientes
Hay algunos casos en los que la probabilidad condicional de UN dado el evento si es igual a la probabilidad de UN. En esta situación, decimos que los eventos UN y si son independientes el uno del otro. La fórmula anterior se convierte en:
