¿Qué es el cálculo? Definición y aplicaciones prácticas

El cálculo es una rama de las matemáticas que implica el estudio de las tasas de cambio. Antes de que se inventara el cálculo, todas las matemáticas eran estáticas: solo podía ayudar a calcular objetos que estaban perfectamente quietos. Pero el universo se mueve y cambia constantemente. Ningún objeto, desde las estrellas en el espacio hasta las partículas subatómicas o las células en el cuerpo, está siempre en reposo. De hecho, casi todo en el universo se mueve constantemente. El cálculo ayudó a determinar cómo las partículas, las estrellas y la materia realmente se mueven y cambian en tiempo real.

El cálculo se usa en una multitud de campos que normalmente no pensarías que utilizarían sus conceptos. Entre ellos se encuentran física, ingeniería, economía, estadística y medicina. El cálculo también se usa en áreas tan dispares como los viajes espaciales, así como para determinar cómo interactúan los medicamentos con el cuerpo e incluso cómo construir estructuras más seguras. Comprenderá por qué el cálculo es útil en tantas áreas si conoce un poco sobre su historia y sobre lo que está diseñado para hacer y medir.

Conclusiones clave: teorema fundamental del cálculo

• El cálculo es el estudio de las tasas de cambio..
• Gottfried Leibniz e Isaac Newton, matemáticos del siglo XVII, ambos inventaron el cálculo de forma independiente. Newton lo inventó primero, pero Leibniz creó las anotaciones que los matemáticos usan hoy.
• Hay dos tipos de cálculo: el cálculo diferencial determina la tasa de cambio de una cantidad, mientras que el cálculo integral encuentra la cantidad donde se conoce la tasa de cambio.

¿Quién inventó el cálculo??

El cálculo fue desarrollado en la segunda mitad del siglo XVII por dos matemáticos, Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Newton desarrolló por primera vez el cálculo y lo aplicó directamente a la comprensión de los sistemas físicos. Independientemente, Leibniz desarrolló las notaciones utilizadas en el cálculo. En pocas palabras, mientras que las matemáticas básicas usan operaciones como más, menos, tiempos y división (+, -, x y ÷), el cálculo usa operaciones que emplean funciones e integrales para calcular las tasas de cambio.

Esas herramientas permitieron a Newton, Leibniz y otros matemáticos que seguían calcular cosas como la pendiente exacta de una curva en cualquier punto. La historia de las matemáticas explica la importancia del teorema fundamental del cálculo de Newton:

"A diferencia de la geometría estática de los griegos, el cálculo permitió a los matemáticos e ingenieros dar sentido al movimiento y al cambio dinámico en el mundo cambiante que nos rodea, como las órbitas de los planetas, el movimiento de los fluidos, etc."

Mediante el cálculo, los científicos, astrónomos, físicos, matemáticos y químicos ahora podrían trazar la órbita de los planetas y las estrellas, así como el camino de los electrones y protones a nivel atómico..

Cálculo diferencial versus integral

Hay dos ramas de cálculo: cálculo diferencial e integral. "El cálculo diferencial estudia los estudios de cálculo derivado e integral ... la integral", señala el Instituto de Tecnología de Massachusetts. Pero hay más que eso. El cálculo diferencial determina la tasa de cambio de una cantidad. Examina las tasas de cambio de pendientes y curvas..

Esta rama se ocupa del estudio de la tasa de cambio de funciones con respecto a sus variables, especialmente a través del uso de derivadas y diferenciales. La derivada es la pendiente de una línea en un gráfico. Encuentra la pendiente de una línea calculando el aumento a lo largo de la carrera.

El cálculo integral, por el contrario, busca encontrar la cantidad donde se conoce la tasa de cambio. Esta rama se enfoca en conceptos tales como pendientes de líneas y velocidades tangentes. Mientras que el cálculo diferencial se enfoca en la curva misma, el cálculo integral se ocupa del espacio o área debajo La curva. El cálculo integral se usa para calcular el tamaño o valor total, como longitudes, áreas y volúmenes.

El cálculo jugó un papel integral en el desarrollo de la navegación en los siglos XVII y XVIII porque permitió a los marineros utilizar la posición de la luna para determinar con precisión la hora local. Para trazar su posición en el mar, los navegadores necesitaban poder medir el tiempo y los ángulos con precisión. Antes del desarrollo del cálculo, los navegantes y capitanes no podían hacer nada..

El cálculo, tanto derivado como integral, ayudó a mejorar la comprensión de este importante concepto en términos de la curva de la Tierra, la distancia que las naves tuvieron que recorrer alrededor de una curva para llegar a una ubicación específica, e incluso la alineación de la Tierra, los mares y naves en relación con las estrellas.

Aplicaciones prácticas

El cálculo tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida real. Algunos de los conceptos que usan cálculo incluyen movimiento, electricidad, calor, luz, armónicos, acústica y astronomía. El cálculo se usa en geografía, visión por computadora (como para la conducción autónoma de automóviles), fotografía, inteligencia artificial, robótica, videojuegos e incluso películas. El cálculo también se usa para calcular las tasas de desintegración radiactiva en la química, e incluso para predecir las tasas de natalidad y mortalidad, así como en el estudio de la gravedad y el movimiento planetario, el flujo de fluidos, el diseño del barco, las curvas geométricas y la ingeniería de puentes..

En física, por ejemplo, el cálculo se usa para ayudar a definir, explicar y calcular el movimiento, la electricidad, el calor, la luz, los armónicos, la acústica, la astronomía y la dinámica. La teoría de la relatividad de Einstein se basa en el cálculo, un campo de las matemáticas que también ayuda a los economistas a predecir cuánto beneficio puede obtener una empresa o industria. Y en la construcción naval, el cálculo se ha utilizado durante muchos años para determinar tanto la curva del casco del barco (usando cálculo diferencial), como el área debajo del casco (usando cálculo integral), e incluso en el diseño general de los barcos..

Además, el cálculo se utiliza para verificar las respuestas de diferentes disciplinas matemáticas, como estadística, geometría analítica y álgebra..

Cálculo en economía

Los economistas usan el cálculo para predecir la oferta, la demanda y las ganancias potenciales máximas. La oferta y la demanda, después de todo, se representan esencialmente en una curva, y en una curva siempre cambiante..

Los economistas usan el cálculo para determinar la elasticidad precio de la demanda. Se refieren a la curva de oferta y demanda en constante cambio como "elástica", y las acciones de la curva como "elasticidad". Para calcular una medida exacta de elasticidad en un punto particular de una curva de oferta o demanda, debe pensar en cambios infinitamente pequeños en el precio y, como resultado, incorporar derivados matemáticos en sus fórmulas de elasticidad. El cálculo le permite determinar puntos específicos en esa curva de oferta y demanda en constante cambio..

Fuente

"Resumen de cálculo". Massachusetts Institute of Technology, 10 de enero de 2000, Cambridge, MA.