Uso de probabilidad condicional para calcular la probabilidad de intersección

La probabilidad condicional de un evento es la probabilidad de que un evento UN ocurre dado que otro evento si Ya ha ocurrido. Este tipo de probabilidad se calcula restringiendo el espacio muestral con el que estamos trabajando solo al conjunto si.

La fórmula para la probabilidad condicional se puede reescribir usando algo de álgebra básica. En lugar de la fórmula:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

multiplicamos ambos lados por P (B) y obtener la fórmula equivalente:

P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).

Entonces podemos usar esta fórmula para encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos usando la probabilidad condicional.

Uso de fórmula

Esta versión de la fórmula es más útil cuando conocemos la probabilidad condicional de UN dado si así como la probabilidad del evento si. Si este es el caso, entonces podemos calcular la probabilidad de la intersección de UN dado si simplemente multiplicando otras dos probabilidades. La probabilidad de la intersección de dos eventos es un número importante porque es la probabilidad de que ocurran ambos eventos..

Ejemplos

Para nuestro primer ejemplo, supongamos que conocemos los siguientes valores para las probabilidades: P (A | B) = 0.8 y P (B) = 0.5. La probabilidad P (A ∩ B) = 0.8 x 0.5 = 0.4.

Si bien el ejemplo anterior muestra cómo funciona la fórmula, puede que no sea lo más esclarecedor en cuanto a la utilidad de la fórmula anterior. Entonces consideraremos otro ejemplo. Hay una escuela secundaria con 400 estudiantes, de los cuales 120 son hombres y 280 son mujeres. De los hombres, el 60% están actualmente matriculados en un curso de matemáticas. De las mujeres, el 80% está actualmente matriculado en un curso de matemáticas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea una mujer inscrita en un curso de matemáticas??

Aqui dejamos F denotar el evento "Estudiante seleccionado es una mujer" y METRO el evento "El alumno seleccionado está inscrito en un curso de matemáticas". Necesitamos determinar la probabilidad de la intersección de estos dos eventos, o P (M ∩ F).

La fórmula anterior nos muestra que P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). La probabilidad de que se seleccione una hembra es P (F) = 280/400 = 70%. La probabilidad condicional de que el estudiante seleccionado esté matriculado en un curso de matemáticas, dado que se ha seleccionado una mujer es P (M | F) = 80%. Multiplicamos estas probabilidades juntas y vemos que tenemos una probabilidad del 80% x 70% = 56% de seleccionar a una estudiante matriculada en un curso de matemáticas.

Prueba de independencia

La fórmula anterior que relaciona la probabilidad condicional y la probabilidad de intersección nos da una manera fácil de saber si estamos tratando con dos eventos independientes. Desde eventos UN y si son independientes si P (A | B) = P (A), De la fórmula anterior se deduce que los eventos UN y si son independientes si y solo si:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Entonces si sabemos eso P (A) = 0.5, P (B) = 0.6 y P (A ∩ B) = 0.2, sin saber nada más, podemos determinar que estos eventos no son independientes. Sabemos esto porque P (A) x P (B) = 0.5 x 0.6 = 0.3. Esta no es la probabilidad de la intersección de UN y si.