La estrategia LIPET para la integración por partes

La integración por partes es una de las muchas técnicas de integración que se utilizan en el cálculo. Este método de integración puede considerarse como una forma de deshacer la regla del producto. Una de las dificultades en el uso de este método es determinar qué función en nuestro integrando debe coincidir con qué parte. El acrónimo LIPET se puede utilizar para proporcionar alguna orientación sobre cómo dividir las partes de nuestra integral.

Integración por partes

Recordemos el método de integración por partes. La fórmula de este método es:

∫ tu rev = uv - ∫ v retu.

Esta fórmula muestra qué parte del integrando establecer igual a tu, y qué parte establecer igual a dv. LIPET es una herramienta que nos puede ayudar en este esfuerzo.

El acrónimo LIPET

La palabra "LIPET" es un acrónimo, lo que significa que cada letra representa una palabra. En este caso, las letras representan diferentes tipos de funciones. Estas identificaciones son:

• L = función logarítmica
• I = función trigonométrica inversa
• P = función polinómica
• E = función exponencial
• T = función trigonométrica

Esto proporciona una lista sistemática de qué tratar de establecer igual a tu en la fórmula de integración por partes. Si hay una función logarítmica, intente configurarla igual a tu, con el resto del integrando igual a dv. Si no hay funciones trigonométricas logarítmicas o inversas, intente establecer un polinomio igual a tu. Los siguientes ejemplos ayudan a aclarar el uso de este acrónimo.

Ejemplo 1

Considera ∫ X EnX reX. Como hay una función logarítmica, establezca esta función igual a tu = ln X. El resto del integrando es dv = X reX. Se deduce que dtu = dX / / X y eso v = X²/ 2.

Esta conclusión se puede encontrar por ensayo y error. La otra opción hubiera sido establecer tu = X. Así dtu Sería muy fácil de calcular. El problema surge cuando miramos dv = lnX. Integre esta función para determinar v. Desafortunadamente, esta es una integral muy difícil de calcular.

Ejemplo 2

Considere la integral ∫ X cos X reX. Comience con las dos primeras letras en LIPET. No hay funciones logarítmicas ni funciones trigonométricas inversas. La siguiente letra en LIPET, una P, significa polinomios. Desde la función X es un conjunto polinómico tu = X y dv = cos X.

Esta es la elección correcta para la integración por partes como dtu = dX y v = pecado X. La integral se convierte en:

X pecado X - ∫ pecado X reX.

Obtenga la integral a través de una integración directa del pecado X.

Cuando falla LIPET

Hay algunos casos en los que LIPET falla, lo que requiere configuración tu igual a una función distinta a la prescrita por LIPET. Por esta razón, este acrónimo solo debe considerarse como una forma de organizar los pensamientos. El acrónimo LIPET también nos proporciona un resumen de una estrategia para probar cuando se utiliza la integración por partes. No es un teorema o principio matemático el que siempre es la forma de trabajar a través de un problema de integración por partes..