Regla de multiplicación para eventos independientes

Es importante saber cómo calcular la probabilidad de un evento. Ciertos tipos de eventos en probabilidad se llaman independientes. Cuando tenemos un par de eventos independientes, a veces podemos preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de que ocurran ambos eventos?" En esta situación, simplemente podemos multiplicar nuestras dos probabilidades juntas.

Veremos cómo utilizar la regla de multiplicación para eventos independientes. Después de repasar los conceptos básicos, veremos los detalles de un par de cálculos..

Definición de eventos independientes

Comenzamos con una definición de eventos independientes. En probabilidad, dos eventos son independientes si el resultado de un evento no influye en el resultado del segundo evento.

Un buen ejemplo de un par de eventos independientes es cuando tiramos un dado y luego lanzamos una moneda. El número que aparece en el dado no tiene efecto en la moneda que se lanzó. Por lo tanto, estos dos eventos son independientes..

Un ejemplo de un par de eventos que no son independientes sería el género de cada bebé en un conjunto de gemelos. Si los gemelos son idénticos, ambos serán hombres o ambos serán mujeres..

Declaración de la regla de multiplicación

La regla de multiplicación para eventos independientes relaciona las probabilidades de dos eventos con la probabilidad de que ambos ocurran. Para usar la regla, necesitamos tener las probabilidades de cada uno de los eventos independientes. Dados estos eventos, la regla de multiplicación establece la probabilidad de que ocurran ambos eventos al multiplicar las probabilidades de cada evento.

Fórmula para la regla de multiplicación

La regla de la multiplicación es mucho más fácil de establecer y trabajar cuando usamos la notación matemática..

Denotar eventos UN y si y las probabilidades de cada uno por PENSILVANIA) y P (B). Si UN y si son eventos independientes, entonces:

PENSILVANIA y B) = P (A) X P (B)

Algunas versiones de esta fórmula usan aún más símbolos. En lugar de la palabra "y" podemos usar el símbolo de intersección: ∩. Algunas veces esta fórmula se usa como la definición de eventos independientes. Los eventos son independientes si y solo si PENSILVANIA y B) = P (A) X P (B).

Ejemplo # 1 del uso de la regla de multiplicación

Veremos cómo usar la regla de multiplicación observando algunos ejemplos. Primero suponga que tiramos un dado de seis lados y luego lanzamos una moneda. Estos dos eventos son independientes. La probabilidad de sacar un 1 es 1/6. La probabilidad de una cabeza es 1/2. La probabilidad de sacar un 1 y conseguir una cabeza es 1/6 x 1/2 = 1/12.

Si estuviéramos inclinados a ser escépticos sobre este resultado, este ejemplo es lo suficientemente pequeño como para que todos los resultados se puedan enumerar: (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). Vemos que hay doce resultados, todos los cuales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por lo tanto, la probabilidad de 1 y una cabeza es 1/12. La regla de multiplicación fue mucho más eficiente porque no requirió que enumeremos nuestro espacio muestral completo.

Ejemplo # 2 del uso de la regla de multiplicación

Para el segundo ejemplo, supongamos que roba una carta de un mazo estándar, reemplaza esta carta, baraja el mazo y luego roba nuevamente. Luego preguntamos cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. Como hemos dibujado con reemplazo, estos eventos son independientes y se aplica la regla de multiplicación. 

La probabilidad de sacar un rey para la primera carta es 1/13. La probabilidad de sacar un rey en el segundo sorteo es 1/13. La razón de esto es que estamos reemplazando al rey que sacamos de la primera vez. Como estos eventos son independientes, usamos la regla de multiplicación para ver que la probabilidad de sacar dos reyes viene dada por el siguiente producto 1/13 x 1/13 = 1/169.