Cómo derivar la fórmula para combinaciones

Después de ver las fórmulas impresas en un libro de texto o escritas en la pizarra por un maestro, a veces es sorprendente descubrir que muchas de estas fórmulas pueden derivarse de algunas definiciones fundamentales y un pensamiento cuidadoso. Esto es particularmente cierto en probabilidad cuando se examina la fórmula para combinaciones. La derivación de esta fórmula realmente solo se basa en el principio de multiplicación.

El principio de multiplicación

Supongamos que hay una tarea que hacer y esta tarea se divide en un total de dos pasos. El primer paso se puede hacer en k maneras y el segundo paso se puede hacer en norte formas. Esto significa que después de multiplicar estos números, la cantidad de formas de realizar la tarea es nk.

Por ejemplo, si tiene diez tipos de helados para elegir y tres coberturas diferentes, ¿cuántas cucharadas, un helado de cobertura puede hacer? Multiplica tres por 10 para obtener 30 helados.

Formando permutaciones

Ahora, use el principio de multiplicación para derivar la fórmula para el número de combinación de r elementos tomados de un conjunto de norte elementos. Dejar P (n, r) denotar el número de permutaciones de r elementos de un conjunto de norte y C (n, r) denotar el número de combinaciones de r elementos de un conjunto de norte elementos.

Piensa en lo que sucede cuando se forma una permutación de r elementos de un total de norte. Mira esto como un proceso de dos pasos. Primero, elija un conjunto de r elementos de un conjunto de norte. Esta es una combinación y hay C(n, r) formas de hacer esto. El segundo paso en el proceso es ordenar r elementos con r opciones para el primero, r - 1 opciones para el segundo, r - 2 para el tercero, 2 opciones para el penúltimo y 1 para el último. Por el principio de multiplicación, hay r X (r -1) x… x 2 x 1 = r! maneras de hacer esto. Esta fórmula está escrita con notación factorial..

La derivación de la fórmula

Recordar, PAG(norte,r ), el número de formas de formar una permutación de r elementos de un total de norte Esta determinado por:

1. Formando una combinación de r elementos de un total de norte en cualquiera de C(norte,r ) formas
2. Ordenando estos r elementos cualquiera de r! formas.

Por el principio de multiplicación, la cantidad de formas de formar una permutación es PAG(norte,r ) = C(norte,r ) X r!.

Usando la fórmula para permutaciones PAG(norte,r ) = norte!/ (norte - r) !, que se puede sustituir por la fórmula anterior:

norte!/ (norte - r)! = C(norte,r ) r!.

Ahora resuelve esto, el número de combinaciones, C(norte,r ) y ver que C(norte,r ) = norte!/ [r!(norte - r)!].

Como se demostró, un poco de pensamiento y álgebra pueden recorrer un largo camino. También se pueden derivar otras fórmulas en probabilidad y estadística con algunas aplicaciones cuidadosas de definiciones.