Ejemplo de una prueba de permutación

Una pregunta que siempre es importante formular en las estadísticas es: "¿El resultado observado se debe solo al azar o es estadísticamente significativo?" Una clase de pruebas de hipótesis, llamadas pruebas de permutación, nos permite probar esta pregunta. La descripción general y los pasos de dicha prueba son:

• Dividimos a nuestros sujetos en un control y un grupo experimental. La hipótesis nula es que no hay diferencia entre estos dos grupos..
• Aplicar un tratamiento al grupo experimental..
• Medir la respuesta al tratamiento.
• Considere todas las configuraciones posibles del grupo experimental y la respuesta observada.
• Calcular un valor p basado en nuestra respuesta observada en relación con todos los grupos experimentales potenciales.

Este es un resumen de una permutación. De acuerdo con este esquema, pasaremos el tiempo mirando un ejemplo resuelto de tal prueba de permutación con gran detalle..

Ejemplo

Supongamos que estamos estudiando ratones. En particular, estamos interesados ​​en la rapidez con que los ratones terminan un laberinto que nunca antes habían encontrado. Deseamos proporcionar evidencia a favor de un tratamiento experimental. El objetivo es demostrar que los ratones del grupo de tratamiento resolverán el laberinto más rápidamente que los ratones no tratados.. 

Comenzamos con nuestros sujetos: seis ratones. Por conveniencia, se hará referencia a los ratones con las letras A, B, C, D, E, F. Tres de estos ratones se seleccionarán al azar para el tratamiento experimental, y los otros tres se colocarán en un grupo de control en el que los sujetos reciben un placebo.

A continuación, elegiremos al azar el orden en que se seleccionan los ratones para ejecutar el laberinto. Se anotará el tiempo dedicado a terminar el laberinto para todos los ratones, y se calculará una media de cada grupo.

Suponga que nuestra selección aleatoria tiene los ratones A, C y E en el grupo experimental, con los otros ratones en el grupo de control con placebo. Después de que se haya implementado el tratamiento, elegimos al azar el orden para que los ratones corran por el laberinto. 

Los tiempos de ejecución para cada uno de los ratones son:

• El mouse A corre la carrera en 10 segundos
• El mouse B corre la carrera en 12 segundos
• Mouse C corre la carrera en 9 segundos
• Mouse D corre la carrera en 11 segundos
• Mouse E corre la carrera en 11 segundos
• Mouse F corre la carrera en 13 segundos.

El tiempo promedio para completar el laberinto para los ratones en el grupo experimental es de 10 segundos. El tiempo promedio para completar el laberinto para aquellos en el grupo de control es de 12 segundos..

Podríamos hacer un par de preguntas. ¿Es realmente el tratamiento la razón del tiempo promedio más rápido? ¿O tuvimos suerte en nuestra selección de control y grupo experimental? El tratamiento puede no haber tenido efecto y elegimos al azar los ratones más lentos para recibir el placebo y los ratones más rápidos para recibir el tratamiento. Una prueba de permutación ayudará a responder estas preguntas..

Hipótesis

Las hipótesis para nuestra prueba de permutación son:

• La hipótesis nula es el enunciado sin efecto. Para esta prueba específica, tenemos H_{0 0}: No hay diferencia entre los grupos de tratamiento. El tiempo medio para ejecutar el laberinto para todos los ratones sin tratamiento es el mismo que el tiempo medio para todos los ratones con el tratamiento.
• La hipótesis alternativa es de lo que estamos tratando de establecer evidencia a favor. En este caso, tendríamos H_un: El tiempo promedio para todos los ratones con el tratamiento será más rápido que el tiempo promedio para todos los ratones sin el tratamiento.

Permutaciones

Hay seis ratones, y hay tres lugares en el grupo experimental. Esto significa que el número de posibles grupos experimentales viene dado por el número de combinaciones C (6,3) = 6! / (3! 3!) = 20. Los individuos restantes serían parte del grupo de control. Entonces, hay 20 formas diferentes de elegir al azar a los individuos en nuestros dos grupos.

La asignación de A, C y E al grupo experimental se realizó al azar. Como hay 20 configuraciones de este tipo, la específica con A, C y E en el grupo experimental tiene una probabilidad de 1/20 = 5% de ocurrir.