Un ejemplo de prueba de Chi-cuadrado para un experimento multinomial

Un uso de una distribución de chi-cuadrado es con pruebas de hipótesis para experimentos multinomiales. Para ver cómo funciona esta prueba de hipótesis, investigaremos los siguientes dos ejemplos. Ambos ejemplos funcionan a través del mismo conjunto de pasos:

1. Forme las hipótesis nula y alternativa
2. Calcule la estadística de prueba
3. Encuentra el valor crítico
4. Tomar una decisión sobre si rechazar o no rechazar nuestra hipótesis nula. 

Ejemplo 1: una moneda justa

Para nuestro primer ejemplo, queremos mirar una moneda. Una moneda justa tiene la misma probabilidad de que 1/2 salga cara o cruz. Lanzamos una moneda 1000 veces y registramos los resultados de un total de 580 caras y 420 colas. Queremos probar la hipótesis con un nivel de confianza del 95% de que la moneda que lanzamos es justa. Más formalmente, la hipótesis nula H_{0 0} es que la moneda es justa. Como estamos comparando las frecuencias observadas de los resultados de un lanzamiento de moneda con las frecuencias esperadas de una moneda justa idealizada, se debe usar una prueba de chi-cuadrado.

Calcular la estadística de chi-cuadrado

Comenzamos calculando la estadística de chi-cuadrado para este escenario. Hay dos eventos, cara y cruz. Cabezas tiene una frecuencia observada de F₁ = 580 con frecuencia esperada de mi₁ = 50% x 1000 = 500. Las colas tienen una frecuencia observada de F₂ = 420 con una frecuencia esperada de mi₁ = 500.

Ahora usamos la fórmula para la estadística de chi-cuadrado y vemos que χ² = (F₁ - mi₁ )²/ /mi₁ + (F₂ - mi₂ )²/ /mi₂= 80²/ 500 + (-80)²/ 500 = 25,6.

Encuentra el valor crítico

Luego, necesitamos encontrar el valor crítico para la distribución correcta de chi-cuadrado. Como hay dos resultados para la moneda, hay dos categorías a considerar. El número de grados de libertad es uno menos que el número de categorías: 2 - 1 = 1. Usamos la distribución de chi-cuadrado para este número de grados de libertad y vemos que χ²_0,95= 3.841.

Rechazar o no rechazar?

Finalmente, comparamos la estadística de chi-cuadrado calculada con el valor crítico de la tabla. Desde 25.6> 3.841, rechazamos la hipótesis nula de que esta es una moneda justa.

Ejemplo 2: un dado justo

Un dado justo tiene la misma probabilidad de 1/6 de tirar uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis. Lanzamos un dado 600 veces y notamos que lanzamos un 106 veces, dos 90 veces, tres 98 veces, cuatro 102 veces, cinco 100 veces y seis 104 veces. Queremos probar la hipótesis con un nivel de confianza del 95% de que tenemos un dado justo.

Calcular la estadística de chi-cuadrado

Hay seis eventos, cada uno con una frecuencia esperada de 1/6 x 600 = 100. Las frecuencias observadas son F₁ = 106, F₂ = 90, F₃ = 98, F_{4 4} = 102, F_{5 5} = 100, F_{6 6} = 104,

Ahora usamos la fórmula para la estadística de chi-cuadrado y vemos que χ² = (F₁ - mi₁ )²/ /mi₁ + (F₂ - mi₂ )²/ /mi₂+ (F₃ - mi₃ )²/ /mi₃+(F_{4 4} - mi_{4 4} )²/ /mi_{4 4}+(F_{5 5} - mi_{5 5} )²/ /mi_{5 5}+(F_{6 6} - mi_{6 6} )²/ /mi_{6 6} = 1.6.

Encuentra el valor crítico

Luego, necesitamos encontrar el valor crítico para la distribución correcta de chi-cuadrado. Como hay seis categorías de resultados para el dado, el número de grados de libertad es uno menos que esto: 6 - 1 = 5. Usamos la distribución de chi-cuadrado para cinco grados de libertad y vemos que χ²_0,95= 11.071.

Rechazar o no rechazar?

Finalmente, comparamos la estadística de chi-cuadrado calculada con el valor crítico de la tabla. Como la estadística de chi-cuadrado calculada es 1.6 es menor que nuestro valor crítico de 11.071, no podemos rechazar la hipótesis nula.