¿Qué son el inverso, el contrapositivo y el inverso?

Las declaraciones condicionales hacen apariciones en todas partes. En matemáticas o en otros lugares, no lleva mucho tiempo encontrar algo de la forma "Si PAG luego Q.Las declaraciones condicionales son de hecho importantes. Lo que también es importante son las declaraciones que están relacionadas con la declaración condicional original al cambiar la posición de PAG, Q y la negación de una declaración. Comenzando con una declaración original, terminamos con tres nuevas declaraciones condicionales que se denominan inversa, contrapositiva y inversa..

Negación

Antes de definir lo inverso, lo contrapositivo y lo inverso de una declaración condicional, debemos examinar el tema de la negación. Cada declaración en lógica es verdadera o falsa. La negación de una declaración simplemente implica la inserción de la palabra "no" en la parte adecuada de la declaración. La adición de la palabra "no" se realiza para que cambie el estado de verdad de la declaración.

Ayudará a mirar un ejemplo. La afirmación "El triángulo rectángulo es equilátero" tiene negación "El triángulo rectángulo no es equilátero". La negación de "10 es un número par" es la afirmación "10 no es un número par". Por supuesto, para este último ejemplo, podríamos usar la definición de un número impar y en su lugar decir que "10 es un número impar". Observamos que la verdad de un enunciado es lo opuesto al de la negación.

Examinaremos esta idea en un entorno más abstracto. Cuando la declaración PAG es cierto, la afirmación "no PAG" Es falso. Del mismo modo, si PAG es falso, su negación "no PAG" es verdad. Las negaciones se denotan comúnmente con una tilde ~. Entonces, en lugar de escribir "no PAG"Podemos escribir ~PAG.

Converse, contrapositivo e inverso

Ahora podemos definir lo inverso, lo contrapositivo y lo inverso de una declaración condicional. Comenzamos con la declaración condicional "If PAG luego Q."

• Lo contrario de la declaración condicional es "Si Q luego PAG."
• El contrapositivo de la declaración condicional es "Si no Q entonces no PAG."
• El inverso de la declaración condicional es "Si no PAG entonces no Q."

Veremos cómo funcionan estas declaraciones con un ejemplo. Supongamos que comenzamos con la declaración condicional "Si llovió anoche, entonces la acera está mojada".

• Lo contrario de la declaración condicional es "Si la acera está mojada, llovió anoche".
• La contraposición de la declaración condicional es "Si la acera no está mojada, entonces no llovió anoche".
• El inverso de la declaración condicional es "Si no llovió anoche, entonces la acera no está mojada".

Equivalencia lógica

Podemos preguntarnos por qué es importante formar estas otras declaraciones condicionales a partir de la nuestra. Una mirada cuidadosa al ejemplo anterior revela algo. Suponga que la afirmación original "Si llovió anoche, entonces la acera está mojada" es cierta. ¿Cuál de las otras afirmaciones tiene que ser verdadera también??

• Lo contrario "Si la acera está mojada, llovió anoche" no es necesariamente cierto. La acera podría estar mojada por otros motivos..
• El inverso "Si no llovió anoche, entonces la acera no está mojada" no es necesariamente cierto. Nuevamente, solo porque no llovió no significa que la acera no esté mojada.
• El contrapositivo "Si la acera no está mojada, entonces no llovió anoche" es una declaración verdadera.

Lo que vemos en este ejemplo (y lo que se puede probar matemáticamente) es que una declaración condicional tiene el mismo valor de verdad que su contraposición. Decimos que estas dos declaraciones son lógicamente equivalentes. También vemos que una declaración condicional no es lógicamente equivalente a su inverso e inverso.

Dado que una declaración condicional y su contrapositiva son lógicamente equivalentes, podemos usar esto para nuestra ventaja cuando estamos demostrando teoremas matemáticos. En lugar de probar la verdad de un enunciado condicional directamente, podemos utilizar la estrategia de prueba indirecta de probar la verdad del contrapositivo de ese enunciado. Las pruebas contrapositivas funcionan porque si el contrapositivo es verdadero, debido a la equivalencia lógica, la declaración condicional original también es verdadera.

Resulta que aunque lo inverso y lo inverso no son lógicamente equivalentes a la declaración condicional original, sí son lógicamente equivalentes entre sí. Hay una explicación fácil para esto. Comenzamos con la declaración condicional "If Q luego PAG". El contrapositivo de esta declaración es "Si no PAG entonces no Q."Dado que el inverso es la contrapositiva del inverso, el inverso y el inverso son lógicamente equivalentes.