La función generadora de momentos de una variable aleatoria

Una forma de calcular la media y la varianza de una distribución de probabilidad es encontrar los valores esperados de las variables aleatorias X y X². Usamos la notación mi(X) y mi(X²) para denotar estos valores esperados. En general, es difícil de calcular. mi(X) y mi(X²) directamente. Para sortear esta dificultad, usamos algunas teorías matemáticas y cálculos más avanzados. El resultado final es algo que facilita nuestros cálculos..

La estrategia para este problema es definir una nueva función, de una nueva variable t eso se llama función generadora de momentos. Esta función nos permite calcular momentos simplemente tomando derivados.

Supuestos

Antes de definir la función de generación de momentos, comenzamos estableciendo el escenario con notación y definiciones. Dejamos X ser una variable aleatoria discreta Esta variable aleatoria tiene la función de masa de probabilidad F(X) El espacio muestral con el que estamos trabajando se indicará mediante S.

En lugar de calcular el valor esperado de X, queremos calcular el valor esperado de una función exponencial relacionada con X. Si hay un número real positivo r tal que mi(mi^tX) existe y es finito para todos t en el intervalo [-r, r], entonces podemos definir el momento que genera la función de X.

Definición

La función generadora de momento es el valor esperado de la función exponencial anterior. En otras palabras, decimos que el momento genera la función de X es dado por:

METRO(t) = mi(mi^tX)

Este valor esperado es la fórmula Σ mi^tx F (X), donde la suma se toma sobre todos X en el espacio muestral S. Esto puede ser una suma finita o infinita, dependiendo del espacio muestral que se use.

Propiedades

La función de generación de momentos tiene muchas características que se conectan con otros temas en probabilidad y estadística matemática. Algunas de sus características más importantes incluyen:

• El coeficiente de mi^tuberculosis es la probabilidad de que X = si.
• Las funciones generadoras de momento poseen una propiedad de unicidad. Si las funciones generadoras de momento para dos variables aleatorias coinciden, entonces las funciones de masa de probabilidad deben ser las mismas. En otras palabras, las variables aleatorias describen la misma distribución de probabilidad.
• Las funciones generadoras de momentos se pueden usar para calcular momentos de X.

Calculando momentos

El último elemento de la lista anterior explica el nombre de las funciones generadoras de momentos y también su utilidad. Algunas matemáticas avanzadas dicen que, bajo las condiciones que presentamos, la derivada de cualquier orden de la función METRO (t) existe para cuando t = 0. Además, en este caso, podemos cambiar el orden de suma y diferenciación con respecto a t para obtener las siguientes fórmulas (todas las sumas están por encima de los valores de X en el espacio muestral S):

• METRO'(t) = Σ xe^tx F (X)
• METRO"(t) = Σ X²mi^tx F (X)
• METRO"(t) = Σ X³mi^tx F (X)
• METRO^(norte)'(t) = Σ X^nortemi^tx F (X)

Si establecemos t = 0 en las fórmulas anteriores, entonces el mi^tx el término se convierte mi^{0 0} = 1. Así obtenemos fórmulas para los momentos de la variable aleatoria X:

• METRO'(0) = mi(X)
• METRO"(0) = mi(X²)
• METRO"(0) = mi(X³)
• METRO^(norte)(0) = mi(X^norte)

Esto significa que si la función generadora de momento existe para una variable aleatoria particular, entonces podemos encontrar su media y su varianza en términos de derivadas de la función generadora de momento. La media es METRO'(0), y la varianza es METRO"(0) - [METRO'(0)]².

Resumen

En resumen, tuvimos que meternos en algunas matemáticas bastante potentes, por lo que algunas cosas se pasaron por alto. Aunque debemos usar el cálculo para lo anterior, al final, nuestro trabajo matemático suele ser más fácil que calcular los momentos directamente desde la definición.