Introducción a las matemáticas vectoriales

Esta es una introducción básica, aunque con suerte bastante completa, para trabajar con vectores. Los vectores se manifiestan en una amplia variedad de formas, desde desplazamiento, velocidad y aceleración hasta fuerzas y campos. Este artículo está dedicado a las matemáticas de los vectores; su aplicación en situaciones específicas se abordará en otro lugar.

Vectores y escalares

UN cantidad vectorial, o vector, proporciona información sobre no solo la magnitud sino también la dirección de la cantidad. Al dar instrucciones a una casa, no es suficiente decir que está a 10 millas de distancia, pero también se debe proporcionar la dirección de esas 10 millas para que la información sea útil. Las variables que son vectores se indicarán con una variable en negrita, aunque es común ver vectores denotados con pequeñas flechas sobre la variable.

Del mismo modo que no decimos que la otra casa está a -10 millas de distancia, la magnitud de un vector siempre es un número positivo, o más bien el valor absoluto de la "longitud" del vector (aunque la cantidad puede no ser una longitud, puede ser una velocidad, aceleración, fuerza, etc.) Un negativo frente a un vector no indica un cambio en la magnitud, sino más bien en la dirección del vector.

En los ejemplos anteriores, la distancia es la cantidad escalar (10 millas) pero desplazamiento es la cantidad vectorial (10 millas al noreste). Del mismo modo, la velocidad es una cantidad escalar, mientras que la velocidad es una cantidad vectorial.

UN vector unitario es un vector que tiene una magnitud de uno. Un vector que representa un vector unitario generalmente también está en negrita, aunque tendrá un quilate (^) arriba para indicar la naturaleza unitaria de la variable. El vector unitario X, cuando se escribe con un quilate, generalmente se lee como "x-hat" porque el quilate se parece a un sombrero en la variable.

los vector cero, o vector nulo, es un vector con una magnitud de cero. Está escrito como 0 0 en este articulo.

Componentes vectoriales

Los vectores generalmente están orientados en un sistema de coordenadas, el más popular de los cuales es el plano cartesiano bidimensional. El plano cartesiano tiene un eje horizontal etiquetado como xy un eje vertical etiquetado como y. Algunas aplicaciones avanzadas de vectores en física requieren el uso de un espacio tridimensional, en el que los ejes son x, y y z. Este artículo tratará principalmente con el sistema bidimensional, aunque los conceptos se pueden ampliar con cierto cuidado a tres dimensiones sin demasiados problemas..

Los vectores en sistemas de coordenadas de múltiples dimensiones se pueden dividir en sus vectores componentes. En el caso bidimensional, esto resulta en un componente x y un componente y. Al dividir un vector en sus componentes, el vector es una suma de los componentes:

F = F_X + F_y

thetaF_XF_yF

F_X / / F = cos theta y F_y / / F = pecado thetalo que nos da
F_X = F cos theta y F_y = F pecado theta

Tenga en cuenta que los números aquí son las magnitudes de los vectores. Conocemos la dirección de los componentes, pero estamos tratando de encontrar su magnitud, por lo que eliminamos la información direccional y realizamos estos cálculos escalares para calcular la magnitud. La aplicación adicional de trigonometría se puede utilizar para encontrar otras relaciones (como la tangente) relacionadas entre algunas de estas cantidades, pero creo que eso es suficiente por ahora.

Durante muchos años, las únicas matemáticas que aprende un estudiante son las matemáticas escalares. Si viaja 5 millas al norte y 5 millas al este, ha viajado 10 millas. Agregar cantidades escalares ignora toda la información sobre las direcciones.

Los vectores se manipulan de manera algo diferente. La dirección siempre debe tenerse en cuenta al manipularlos..

Agregar componentes

Cuando agrega dos vectores, es como si tomara los vectores y los colocara de extremo a extremo y creara un nuevo vector que se ejecute desde el punto inicial hasta el punto final. Si los vectores tienen la misma dirección, esto solo significa sumar las magnitudes, pero si tienen direcciones diferentes, puede volverse más complejo.