¿Por qué cero factorial es igual a uno?
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Un factorial cero es una expresión matemática para la cantidad de formas de organizar un conjunto de datos sin valores, lo que equivale a uno. En general, el factorial de un número es una forma abreviada de escribir una expresión de multiplicación en la que el número se multiplica por cada número menor que él pero mayor que cero. 4! = 24, por ejemplo, es lo mismo que escribir 4 x 3 x 2 x 1 = 24, en el que se usa un signo de exclamación a la derecha del número factorial (cuatro) para expresar la misma ecuación.
A partir de estos ejemplos, es bastante claro cómo calcular el factorial de cualquier número entero mayor o igual a uno, pero ¿por qué el valor de cero es factorial a pesar de la regla matemática de que cualquier cosa multiplicada por cero es igual a cero??
La definición del factorial establece que 0! = 1. Esto generalmente confunde a las personas la primera vez que ven esta ecuación, pero veremos en los ejemplos a continuación por qué esto tiene sentido cuando observamos la definición, las permutaciones y las fórmulas para el factorial cero.
La definición de un factorial cero
La primera razón por la cual el factorial cero es igual a uno es porque esto es lo que la definición dice que debería ser, que es una explicación matemáticamente correcta, si no algo insatisfactorio. Aún así, uno debe recordar que la definición de un factorial es el producto de todos los enteros iguales o menores en valor al número original; en otras palabras, un factorial es el número de combinaciones posibles con números menores o iguales a ese número.
Como el cero no tiene números más bajos, pero sigue siendo un número en sí mismo, todavía hay una combinación posible de cómo se puede organizar ese conjunto de datos: no puede. Esto todavía cuenta como una forma de organizarlo, por lo que, por definición, un factorial cero es igual a uno, ¡igual que 1! es igual a uno porque solo hay una única disposición posible de este conjunto de datos.
Para una mejor comprensión de cómo esto tiene sentido matemáticamente, es importante tener en cuenta que factores como estos se utilizan para determinar los posibles órdenes de información en una secuencia, también conocidos como permutaciones, que pueden ser útiles para comprender que, aunque no hay valores en un conjunto vacío o cero, todavía hay una forma de organizar ese conjunto.
Permutaciones y Factoriales
Una permutación es un orden específico y único de elementos en un conjunto. Por ejemplo, hay seis permutaciones del conjunto 1, 2, 3, que contiene tres elementos, ya que podemos escribir estos elementos de las siguientes seis formas:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
También podríamos establecer este hecho a través de la ecuación 3! = 6, que es una representación factorial del conjunto completo de permutaciones. De manera similar, ¡hay 4! = 24 permutaciones de un conjunto con cuatro elementos y 5! = 120 permutaciones de un conjunto con cinco elementos. Entonces, una forma alternativa de pensar sobre el factorial es dejar norte ser un número natural y decir que norte! es el número de permutaciones para un conjunto con norte elementos.
Con esta forma de pensar sobre el factorial, veamos un par de ejemplos más. Un conjunto con dos elementos tiene dos permutaciones: a, b se puede organizar como a, bo o como b, a. Esto corresponde a 2! = 2. Un conjunto con un elemento tiene una única permutación, ya que el elemento 1 en el conjunto 1 solo se puede ordenar de una manera.
Esto nos lleva a factorial cero. El conjunto con cero elementos se llama conjunto vacío. Para encontrar el valor del factorial cero, preguntamos: "¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto sin elementos?" Aquí tenemos que estirar un poco nuestro pensamiento. Aunque no hay nada que poner en orden, hay una manera de hacerlo. ¡Así tenemos ese 0! = 1.
Fórmulas y otras validaciones
Otra razón para la definición de 0! = 1 tiene que ver con las fórmulas que usamos para permutaciones y combinaciones. ¡Esto no explica por qué cero factorial es uno, pero sí muestra por qué establecer 0! = 1 es una buena idea.
Una combinación es una agrupación de elementos de un conjunto sin tener en cuenta el orden. Por ejemplo, considere el conjunto 1, 2, 3, en el que hay una combinación que consta de los tres elementos. No importa en qué orden organicemos estos elementos, terminamos con la misma combinación.
Usamos la fórmula para combinaciones, con la combinación de tres elementos tomados de tres en tres y vemos que 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!) Y si tratamos 0! como una cantidad desconocida y resolver algebraicamente, vemos que 3! 0! = 3! y entonces 0! = 1.
Hay otras razones por las cuales la definición de 0! = 1 es correcto, pero las razones anteriores son las más directas. La idea general en matemáticas es cuando se construyen nuevas ideas y definiciones, que permanecen consistentes con otras matemáticas, y esto es exactamente lo que vemos en la definición de factorial cero es igual a uno.
