¿Cuál es la inclinación de una distribución exponencial?

Los parámetros comunes para la distribución de probabilidad incluyen la media y la desviación estándar. La media da una medida del centro y la desviación estándar indica qué tan extendida está la distribución. Además de estos parámetros bien conocidos, hay otros que llaman la atención sobre características distintas de la propagación o el centro. Una de esas medidas es la asimetría. La inclinación da una forma de adjuntar un valor numérico a la asimetría de una distribución.

Una distribución importante que examinaremos es la distribución exponencial. Veremos cómo demostrar que la asimetría de una distribución exponencial es 2.

Función de densidad de probabilidad exponencial

Comenzamos declarando la función de densidad de probabilidad para una distribución exponencial. Estas distribuciones tienen un parámetro, que está relacionado con el parámetro del proceso de Poisson relacionado. Denotamos esta distribución como Exp (A), donde A es el parámetro. La función de densidad de probabilidad para esta distribución es:

F(X) = mi^-X/UN/ A, donde X no es negativo.

aquí mi es la constante matemática mi eso es aproximadamente 2.718281828. La media y la desviación estándar de la distribución exponencial Exp (A) están relacionadas con el parámetro A. De hecho, la media y la desviación estándar son iguales a A.

Definición de sesgo

La oblicuidad se define por una expresión relacionada con el tercer momento sobre la media. Esta expresión es el valor esperado:

E [(X - μ)³/ σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³) / σ³ = (E [X³] - 3μ (σ² - μ³) / σ³.

Reemplazamos μ y σ con A, y el resultado es que la asimetría es E [X³] / UN³ - 4 4.

Todo lo que queda es calcular el tercer momento sobre el origen. Para esto necesitamos integrar lo siguiente:

∫^∞_{0 0} X ³ F(X) dX.

Esta integral tiene un infinito para uno de sus límites. Por lo tanto, se puede evaluar como una integral impropia tipo I. También debemos determinar qué técnica de integración usar. Dado que la función para integrar es el producto de una función polinómica y exponencial, necesitaríamos usar la integración por partes. Esta técnica de integración se aplica varias veces. El resultado final es que:

EX³] = 6A³

Luego combinamos esto con nuestra ecuación anterior para la asimetría. Vemos que la asimetría es 6 - 4 = 2.

Trascendencia

Es importante tener en cuenta que el resultado es independiente de la distribución exponencial específica con la que comenzamos. La asimetría de la distribución exponencial no depende del valor del parámetro A.

Además, vemos que el resultado es un sesgo positivo. Esto significa que la distribución está sesgada a la derecha. Esto no debería sorprendernos al pensar en la forma de la gráfica de la función de densidad de probabilidad. Todas estas distribuciones tienen una intersección en y como 1 // theta y una cola que va al extremo derecho del gráfico, correspondiente a valores altos de la variable X.