¿Qué es el conjunto de potencia?

Una pregunta en la teoría de conjuntos es si un conjunto es un subconjunto de otro conjunto. Un subconjunto de UN es un conjunto que se forma usando algunos de los elementos del conjunto UN. Para poder si ser un subconjunto de UN, cada elemento de si también debe ser un elemento de UN.

Cada conjunto tiene varios subconjuntos. A veces es deseable conocer todos los subconjuntos que son posibles. Una construcción conocida como el conjunto de potencia ayuda en este esfuerzo. El conjunto de potencia del conjunto UN es un conjunto con elementos que también son conjuntos. Este conjunto de poderes se forma al incluir todos los subconjuntos de un conjunto dado UN.

Ejemplo 1

Consideraremos dos ejemplos de conjuntos de potencia. Para el primero, si comenzamos con el conjunto UN = 1, 2, 3, entonces, ¿cuál es el poder establecido? Continuamos enumerando todos los subconjuntos de UN.

• El conjunto vacío es un subconjunto de UN. De hecho, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Este es el único subconjunto sin elementos de UN.
• Los conjuntos 1, 2, 3 son los únicos subconjuntos de UN con un elemento.
• Los conjuntos 1, 2, 1, 3, 2, 3 son los únicos subconjuntos de UN con dos elementos.
• Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo. Así UN = 1, 2, 3 es un subconjunto de UN. Este es el único subconjunto con tres elementos..

UN UN UN

Ejemplo 2

Para el segundo ejemplo, consideraremos el conjunto de potencia de si = 1, 2, 3, 4. Gran parte de lo que dijimos anteriormente es similar, si no idéntico ahora:

• El conjunto vacío y si son ambos subconjuntos.
• Como hay cuatro elementos de si, Hay cuatro subconjuntos con un elemento: 1, 2, 3, 4.
• Dado que cada subconjunto de tres elementos puede formarse eliminando un elemento de si y hay cuatro elementos, hay cuatro subconjuntos de este tipo: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
• Queda por determinar los subconjuntos con dos elementos. Estamos formando un subconjunto de dos elementos elegidos de un conjunto de 4. Esta es una combinación y hay C (4, 2) = 6 de estas combinaciones. Los subconjuntos son: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

si si

Notación

Hay dos formas en que el conjunto de potencia de un conjunto UN se denota. Una forma de denotar esto es usar el símbolo PAG( UN), donde a veces esta carta PAG Está escrito con un guión estilizado. Otra notación para el conjunto de poder de UN es 2^UN. Esta notación se utiliza para conectar el conjunto de potencia al número de elementos en el conjunto de potencia..

Tamaño del conjunto de potencia

Examinaremos esta notación más a fondo. Si UN es un conjunto finito con norte elementos, entonces su conjunto de poder P (A ) tendrá 2^norte elementos. Si estamos trabajando con un conjunto infinito, entonces no es útil pensar en 2^norte elementos. Sin embargo, un teorema de Cantor nos dice que la cardinalidad de un conjunto y su conjunto de potencia no puede ser la misma..

Era una pregunta abierta en matemáticas si la cardinalidad del conjunto de poder de un conjunto infinitamente contable coincide con la cardinalidad de los reales. La resolución de esta pregunta es bastante técnica, pero dice que podemos elegir hacer esta identificación de cardinalidades o no. Ambos conducen a una teoría matemática consistente.

Conjuntos de potencia en probabilidad

El tema de la probabilidad se basa en la teoría de conjuntos. En lugar de referirnos a conjuntos y subconjuntos universales, hablamos de espacios de muestra y eventos. A veces, cuando trabajamos con un espacio muestral, deseamos determinar los eventos de ese espacio muestral. El conjunto de potencia del espacio muestral que tenemos nos dará todos los eventos posibles..