¿Cuáles son las leyes de De Morgan?

La estadística matemática a veces requiere el uso de la teoría de conjuntos. Las leyes de De Morgan son dos declaraciones que describen las interacciones entre varias operaciones de teoría de conjuntos. Las leyes son que para cualquiera de los dos conjuntos UN y si:

1. (UN ∩ si)^C = UN^C U si^C.
2. (UN U si)^C = UN^C ∩ si^C.

Después de explicar lo que significa cada una de estas declaraciones, veremos un ejemplo de cada una de estas declaraciones.

Operaciones de teoría de conjuntos

Para entender lo que dicen las leyes de De Morgan, debemos recordar algunas definiciones de operaciones de teoría de conjuntos. Específicamente, debemos saber acerca de la unión e intersección de dos conjuntos y el complemento de un conjunto.

Las leyes de De Morgan se relacionan con la interacción de la unión, la intersección y el complemento. Recordar que:

• La intersección de los conjuntos. UN y si consiste en todos los elementos que son comunes a ambos UN y si. La intersección se denota por UN ∩ si.
• La unión de los conjuntos. UN y si consiste en todos los elementos que en cualquiera UN o si, incluyendo los elementos en ambos conjuntos. La intersección se denota por A U B.
• El complemento del conjunto UN consiste en todos los elementos que no son elementos de UN. Este complemento se denota por A^C.

Ahora que hemos recordado estas operaciones elementales, veremos la declaración de las Leyes de De Morgan. Por cada par de juegos UN y si tenemos:

1. (UN ∩ si)^C = UN^C U si^C
2. (UN U si)^C = UN^C ∩ si^C

Estas dos declaraciones pueden ilustrarse mediante el uso de diagramas de Venn. Como se ve a continuación, podemos demostrarlo usando un ejemplo. Para demostrar que estas afirmaciones son verdaderas, debemos demostrarlas usando definiciones de operaciones de teoría de conjuntos.

Ejemplo de las leyes de De Morgan

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales del 0 al 5. Escribimos esto en notación de intervalo [0, 5]. Dentro de este conjunto tenemos UN = [1, 3] y si = [2, 4]. Además, después de aplicar nuestras operaciones elementales, tenemos:

• El complemento UN^C = [0, 1) U (3, 5]
• El complemento si^C = [0, 2) U (4, 5]
• La Union UN U si = [1, 4]
• La intersección UN ∩ si = [2, 3]

Comenzamos calculando la unión UN^C U si^C.  Vemos que la unión de [0, 1) U (3, 5] con [0, 2) U (4, 5] es [0, 2) U (3, 5]. La intersección UN ∩ si es [2, 3]. Vemos que el complemento de este conjunto [2, 3] es también [0, 2) U (3, 5]. De esta forma hemos demostrado que UN^C U si^C = (UN ∩ si)^C.

Ahora vemos la intersección de [0, 1) U (3, 5] con [0, 2) U (4, 5] es [0, 1) U (4, 5]. También vemos que el complemento de [ 1, 4] es también [0, 1) U (4, 5]. De esta forma hemos demostrado que UN^C ∩ si^C = (UN U si)^C.

Nombramiento de las leyes de De Morgan

A lo largo de la historia de la lógica, personas como Aristóteles y William de Ockham han hecho declaraciones equivalentes a las Leyes de De Morgan. 

Las leyes de De Morgan llevan el nombre de Augustus De Morgan, que vivió entre 1806 y 1871. Aunque no descubrió estas leyes, fue el primero en introducir estas declaraciones usando formalmente una formulación matemática en lógica proposicional..