Uso de la función generadora de momentos para la distribución binomial

La media y la varianza de una variable aleatoria. X con una distribución de probabilidad binomial puede ser difícil de calcular directamente. Aunque puede quedar claro qué debe hacerse al usar la definición del valor esperado de X y X², La ejecución real de estos pasos es un malabarismo complicado de álgebra y sumaciones. Una forma alternativa de determinar la media y la varianza de una distribución binomial es usar la función de generación de momentos para X.

Variable aleatoria binomial

Comience con la variable aleatoria X y describa la distribución de probabilidad más específicamente. Realizar norte ensayos independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales tiene probabilidad de éxito pag y probabilidad de falla 1 - pag. Por lo tanto, la función de masa de probabilidad es

F (X) = C(norte , X)pag^X(1 - pag)^{norte - X}

Aquí el termino C(norte , X) denota el número de combinaciones de norte elementos tomados X a la vez, y X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, ... , norte.

Función generadora de momentos

Use esta función de probabilidad de masa para obtener la función generadora de momento de X:

METRO(t) = Σ_{X = 0}^norte mi^txC(norte,X)>)pag^X(1 - pag)^{norte - X}.

Queda claro que puede combinar los términos con exponente de X:

METRO(t) = Σ_{X = 0}^norte (Educación física^t)^XC(norte,X)>) (1 - pag)^{norte - X}.

Además, mediante el uso de la fórmula binomial, la expresión anterior es simplemente:

METRO(t) = [(1 - pag) + Educación física^t]^norte.

Cálculo de la media

Para encontrar la media y la varianza, necesitará saber ambas METRO'(0) y METRO"(0). Comience calculando sus derivados y luego evalúe cada uno de ellos en t = 0.

Verá que la primera derivada de la función generadora de momento es:

METRO'(t) = norte(Educación física^t) [(1 - pag) + Educación física^t]^{norte - 1}.

A partir de esto, puede calcular la media de la distribución de probabilidad. METRO(0) = norte(Educación física^{0 0}) [(1 - pag) + Educación física^{0 0}]^{norte - 1} = notario público. Esto coincide con la expresión que obtuvimos directamente de la definición de la media.

Cálculo de la varianza

El cálculo de la varianza se realiza de manera similar. Primero, diferenciamos la función generadora de momento nuevamente, y luego evaluamos esta derivada en t = 0. Aquí verás que

METRO"(t) = norte(norte - 1) (Educación física^t)²[(1 - pag) + Educación física^t]^{norte - 2} + norte(Educación física^t) [(1 - pag) + Educación física^t]^{norte - 1}.

Para calcular la varianza de esta variable aleatoria necesitas encontrar METRO"(t) Aquí tienes METRO"(0) = norte(norte - 1)pag² +notario público. La varianza σ² de su distribución es

σ² = METRO"(0) - [METRO'(0)]² = norte(norte - 1)pag² +notario público - (notario público)² = notario público(1 - pag).

Aunque este método es algo complicado, no es tan complicado como calcular la media y la varianza directamente de la función de masa de probabilidad.