La aproximación normal a la distribución binomial

Se sabe que las variables aleatorias con una distribución binomial son discretas. Esto significa que hay una cantidad contable de resultados que pueden ocurrir en una distribución binomial, con separación entre estos resultados. Por ejemplo, una variable binomial puede tomar un valor de tres o cuatro, pero no un número entre tres y cuatro.

Con el carácter discreto de una distribución binomial, es algo sorprendente que se pueda usar una variable aleatoria continua para aproximar una distribución binomial. Para muchas distribuciones binomiales, podemos usar una distribución normal para aproximar nuestras probabilidades binomiales.

Esto se puede ver al mirar norte lanzamientos de monedas y dejar X Ser el número de cabezas. En esta situación, tenemos una distribución binomial con probabilidad de éxito como pag = 0.5. A medida que aumentamos el número de lanzamientos, vemos que el histograma de probabilidad se parece cada vez más a una distribución normal..

Declaración de la aproximación normal

Cada distribución normal está completamente definida por dos números reales. Estos números son la media, que mide el centro de la distribución, y la desviación estándar, que mide la propagación de la distribución. Para una situación binomial dada, necesitamos poder determinar qué distribución normal usar.

La selección de la distribución normal correcta está determinada por el número de ensayos norte en el entorno binomial y la probabilidad constante de éxito pag para cada una de estas pruebas. La aproximación normal para nuestra variable binomial es una media de notario público y una desviación estándar de (notario público(1 - pag)^{0.5 0.5}.

Por ejemplo, supongamos que adivinamos en cada una de las 100 preguntas de una prueba de opción múltiple, donde cada pregunta tenía una respuesta correcta de cuatro opciones. El número de respuestas correctas. X es una variable aleatoria binomial con norte = 100 y pag = 0.25. Por lo tanto, esta variable aleatoria tiene una media de 100 (0.25) = 25 y una desviación estándar de (100 (0.25) (0.75))^{0.5 0.5} = 4.33. Una distribución normal con media 25 y desviación estándar de 4.33 funcionará para aproximar esta distribución binomial.

¿Cuándo es apropiada la aproximación??

Al usar algunas matemáticas, se puede demostrar que hay algunas condiciones que necesitamos para usar una aproximación normal a la distribución binomial. El número de observaciones. norte debe ser lo suficientemente grande y el valor de pag para que ambos notario público y norte(1 - pag) son mayores o iguales que 10. Esta es una regla general, que se guía por la práctica estadística. La aproximación normal siempre se puede usar, pero si no se cumplen estas condiciones, entonces la aproximación puede no ser tan buena como una aproximación.

Por ejemplo, si norte = 100 y pag = 0.25 entonces estamos justificados en usar la aproximación normal. Esto es porque notario público = 25 y norte(1 - pag) = 75. Dado que ambos números son mayores que 10, la distribución normal apropiada hará un buen trabajo al estimar las probabilidades binomiales.

Por qué usar la aproximación?

Las probabilidades binomiales se calculan utilizando una fórmula muy sencilla para encontrar el coeficiente binomial. Desafortunadamente, debido a los factoriales en la fórmula, puede ser muy fácil encontrar dificultades computacionales con la fórmula binomial. La aproximación normal nos permite evitar cualquiera de estos problemas trabajando con un amigo conocido, una tabla de valores de una distribución normal estándar.

Muchas veces la determinación de una probabilidad de que una variable aleatoria binomial se encuentre dentro de un rango de valores es tediosa de calcular. Esto es porque para encontrar la probabilidad de que una variable binomial X es mayor que 3 y menor que 10, tendríamos que encontrar la probabilidad de que X es igual a 4, 5, 6, 7, 8 y 9, y luego suma todas estas probabilidades juntas. Si se puede utilizar la aproximación normal, tendremos que determinar las puntuaciones z correspondientes a 3 y 10, y luego usar una tabla de probabilidades de puntuación z para la distribución normal estándar.