Distribución normal estándar en problemas matemáticos

La distribución normal estándar, que se conoce más comúnmente como la curva de campana, aparece en una variedad de lugares. Normalmente se distribuyen varias fuentes de datos diferentes. Como resultado de este hecho, nuestro conocimiento sobre la distribución normal estándar se puede utilizar en varias aplicaciones. Pero no necesitamos trabajar con una distribución normal diferente para cada aplicación. En cambio, trabajamos con una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1. Analizaremos algunas aplicaciones de esta distribución que están relacionadas con un problema en particular..

Ejemplo

Supongamos que se nos dice que las alturas de los machos adultos en una región particular del mundo normalmente se distribuyen con una media de 70 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas.

1. Aproximadamente, qué proporción de hombres adultos son más altos que 73 pulgadas?
2. ¿Qué proporción de hombres adultos tienen entre 72 y 73 pulgadas??
3. ¿Qué altura corresponde al punto donde el 20% de todos los machos adultos son mayores que esta altura??
4. ¿Qué altura corresponde al punto donde el 20% de todos los hombres adultos son menores que esta altura??

Soluciones

Antes de continuar, asegúrese de detenerse y repasar su trabajo. A continuación se incluye una explicación detallada de cada uno de estos problemas:

1. Usamos nuestro z-fórmula de puntaje para convertir 73 en un puntaje estandarizado. Aquí calculamos (73-70) / 2 = 1.5. Entonces la pregunta es: ¿cuál es el área bajo la distribución normal estándar para z mayor que 1.5? Consulta nuestra mesa de z-los puntajes nos muestran que 0.933 = 93.3% de la distribución de datos es menor que z = 1.5. Por lo tanto, 100% - 93.3% = 6.7% de los machos adultos son más altos que 73 pulgadas.
2. Aquí convertimos nuestras alturas a una estandarizada z-Puntuación. Hemos visto que 73 ha una z puntaje de 1.5. los z-la puntuación de 72 es (72 - 70) / 2 = 1. Por lo tanto, estamos buscando el área bajo la distribución normal para 1<z < 1.5. A quick check of the normal distribution table shows that this proportion is 0.933 - 0.841 = 0.092 = 9.2%
3. Aquí la pregunta se invierte de lo que ya hemos considerado. Ahora buscamos en nuestra tabla para encontrar un z-Puntuación Z^{* *} que corresponde a un área de 0.200 arriba. Para usar en nuestra tabla, notamos que aquí es donde 0.800 está debajo. Cuando miramos la mesa, vemos que z^{* *} = 0,84. Ahora debemos convertir esto z-anotar a una altura. Como 0.84 = (x - 70) / 2, esto significa que X = 71.68 pulgadas.
4. Podemos usar la simetría de la distribución normal y ahorrarnos la molestia de buscar el valor z^{* *}. En lugar de z^{* *} = 0.84, tenemos -0.84 = (x - 70) / 2. Así X = 68.32 pulgadas.

El área de la región sombreada a la izquierda de z en el diagrama anterior muestra estos problemas. Estas ecuaciones representan probabilidades y tienen numerosas aplicaciones en estadística y probabilidad..